“一个边已给定,是c。另一个边,我想也不难求出。是的,另一边是另 个直角三角形的斜边。” “很好!现在我看出你有个计划了。” 11.实现计划 想出一个计划,产生一个求解的念头是不容易的。要成功需要有许多条件 如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中,还要有好运气。但实现计划则容 易得多,我们所需要的主要是耐心。 计划仅给出一个一般性的大纲,我们必须充实细节并耐心地检查每一个细 节,直到每一点都完全清楚了,没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。 如果学生真的拟定出一个计划,则教师就比较清闲了。现在的主要危险是 学生可能会忘记他的计划。因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采 纳某个计划的学生,很容易发生这种现象;但若是学生自己搞出来的计划(即便 经过某种帮助)并且学生满意地看出了最终的思路,则他就不那么容易忘记。教 师必须坚持让学生检查每一步骤 根据“直观”或“形式”上的论证,我们可以使自己相信每一步骤的正确 性。我们可以集中力量在有问题的疑点上,直到完全搞清楚,毫不怀疑每一步 骤都是正确的为止;或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点 (在许多重要的场合,直接观察与形式证明二者间的区别是足够明显的;更进 步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧!) 主要之点是:学生应当真正地相信每一步骤的正确性。在某些情况老师可 以强调“看出来”与“证明”二者之间的差别而提出:你能清楚地看出这一步 骤是正确的吗?同时你也能证明这一步骤是正确的吗? 12.例子 我们继续第10节末尾留下的工作。学生最后已经得到了解题的思路。他看 出未知数x是直角三角形的斜边,而给定的高度c是边长之一,另一边则是六面 体的一个面的对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的符号。他应当选 择y表示另一边,即面上的对角线,其两边为a和b。学生现在可能看得更清楚 解题的思路就是应该引进一个辅助未知数y0最后,陆续对这两个直角三角形进 行考虑之后,他得到 X2=y+c y2=a2+b2于是消去辅助未知数y,从而有 x =a +b +c a2+b2+c2 如果学生正确地进行上述细节运算,老师没有理由去打断他,除非必要时 提醒他应当检查每一步。这样,教师可以问:“一个边已给定，是c。另一个边，我想也不难求出。是的，另一边是另 一个直角三角形的斜边。” “很好!现在我看出你有个计划了。” 11．实现计划 想出一个计划，产生一个求解的念头是不容易的。要成功需要有许多条件， 如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中，还要有好运气。但实现计划则容 易得多，我们所需要的主要是耐心。 计划仅给出一个一般性的大纲，我们必须充实细节并耐心地检查每一个细 节，直到每一点都完全清楚了，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。 如果学生真的拟定出一个计划，则教师就比较清闲了。现在的主要危险是 学生可能会忘记他的计划。因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采 纳某个计划的学生，很容易发生这种现象；但若是学生自己搞出来的计划(即便 经过某种帮助)并且学生满意地看出了最终的思路，则他就不那么容易忘记。教 师必须坚持让学生检查每一步骤。 根据“直观”或“形式”上的论证，我们可以使自己相信每一步骤的正确 性。我们可以集中力量在有问题的疑点上，直到完全搞清楚，毫不怀疑每一步 骤都是正确的为止；或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点 (在许多重要的场合，直接观察与形式证明二者间的区别是足够明显的；更进一 步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧!) 主要之点是：学生应当真正地相信每一步骤的正确性。在某些情况老师可 以强调“看出来”与“证明”二者之间的差别而提出：你能清楚地看出这一步 骤是正确的吗?同时你也能证明这一步骤是正确的吗? 12．例子 我们继续第10节末尾留下的工作。学生最后已经得到了解题的思路。他看 出未知数x是直角三角形的斜边，而给定的高度c是边长之一，另一边则是六面 体的一个面的对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的符号。他应当选 择y表示另一边，即面上的对角线，其两边为a和b。学生现在可能看得更清楚： 解题的思路就是应该引进一个辅助未知数y0最后，陆续对这两个直角三角形进 行考虑之后，他得到 x2=y 2 +c2 y 2 =a 2 +b2于是消去辅助未知数y，从而有 x2=a 2 +b2 +c2 x= 2 2 2 a + b + c 如果学生正确地进行上述细节运算，老师没有理由去打断他，除非必要时 提醒他应当检查每一步。这样，教师可以问：