“你能清楚地看出具有三边x,y,c的三角形是直角三角形吗?” 对于这个问题,学生可能老老实实回答:“是”。但是如果老师不满足于 学生的直观猜测,他应该继续提问 但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗?” 除非整个班级对于立体几何已经有了良好的起点,否则教师不应当提出这 个问题。即使如此,也仍然存在某些危险性,即对这个偶然提出问题的回答可 能成为大多数学生的主要困难。 13.回顾 即使是相当好的学生,当他得到问题的解答,并且很干净利落地写下论证 后,就会合上书本,找点别的事来干干。这样做,他们就错过了解题的一个重 要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答,通过重新考虑与重新检查这个结 果和得出这一结果的路子,学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。 一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法:没有任何问题是可以解决得 十全十美的。总剩下些工作要做。经过充分的探讨与钴研,我们能够改进这个 解答,而且在任何情况下,我们总能提高自己对这个解答的理解水平 现在学生已经完成了他的计划。他已经写出了答案,检査了每一步。这样, 他似乎有充分理由相信他的解答是正确的了。然而,出现错误总还是可能的, 特别当论证冗长而复杂的时候更是如此。所以要验证。特别是,如果有某种快 速而直观的办法来检验结果或者检验论证,决不要忽略。你能检验这结果吗? 你能检验这个论证吗? 为了确信某个东西的存在或其质量的好坏,我们总喜欢去看看它,摸摸它。 我们总是通过两种不同的感官来感知它。同样,我们也宁可通过两种不同的证 明使我们对结果确信无疑。因此要问:你能用不同方法来导出这结果吗?当然 我们宁愿要简短而直观的论证,而不要冗长而烦琐的,所以要问:你能一下子 看出它吗? 教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉:数学题目之间很少有联 系,和任何其他事物则完全没有什么联系。当我们回顾问题解答的时候,我们 自然有机会来考察一个问题与其它事物的联系。如果学生已经作出了真诚的努 力并且意识到自己完成得不错,那末他们将发现对解答加以回顾确实饶有趣味 这样,他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的,以及下次他如何 能干得同样好。教师应该鼓励学生设想一些情况,在那些情况下,他能再一次 利用所使用的办法,或者应用所得到的结果。你能把这结果或这方法用于某个 其它问题吗? 14.例子 在第12节,学生最后得到了解答:如果长方体自同一角引出的三个边为 b,c,那末对角线为 la2+b2+c“你能清楚地看出具有三边x，y，c的三角形是直角三角形吗?” 对于这个问题，学生可能老老实实回答：“是”。但是如果老师不满足于 学生的直观猜测，他应该继续提问： “但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗?” 除非整个班级对于立体几何已经有了良好的起点，否则教师不应当提出这 个问题。即使如此，也仍然存在某些危险性，即对这个偶然提出问题的回答可 能成为大多数学生的主要困难。 13．回顾 即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证 后，就会合上书本，找点别的事来干干。这样做，他们就错过了解题的一个重 要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结 果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。 一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得 十全十美的。总剩下些工作要做。经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个 解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。 现在学生已经完成了他的计划。他已经写出了答案，检查了每一步。这样， 他似乎有充分理由相信他的解答是正确的了。然而，出现错误总还是可能的， 特别当论证冗长而复杂的时候更是如此。所以要验证。特别是，如果有某种快 速而直观的办法来检验结果或者检验论证，决不要忽略。你能检验这结果吗? 你能检验这个论证吗? 为了确信某个东西的存在或其质量的好坏，我们总喜欢去看看它，摸摸它。 我们总是通过两种不同的感官来感知它。同样，我们也宁可通过两种不同的证 明使我们对结果确信无疑。因此要问：你能用不同方法来导出这结果吗?当然， 我们宁愿要简短而直观的论证，而不要冗长而烦琐的，所以要问：你能一下子 看出它吗? 教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉：数学题目之间很少有联 系，和任何其他事物则完全没有什么联系。当我们回顾问题解答的时候，我们 自然有机会来考察一个问题与其它事物的联系。如果学生已经作出了真诚的努 力并且意识到自己完成得不错，那末他们将发现对解答加以回顾确实饶有趣味。 这样，他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的，以及下次他如何 能干得同样好。教师应该鼓励学生设想一些情况，在那些情况下，他能再一次 利用所使用的办法，或者应用所得到的结果。你能把这结果或这方法用于某个 其它问题吗? 14．例子 在第12节，学生最后得到了解答：如果长方体自同一角引出的三个边为a， b，c，那末对角线为 2 2 2 a + b + c