你能检验这个结果吗?教师不能指望从缺乏经验的学生那里得到这个问题 的良好回答。但是学生应该很早就获得下述经验:用字母表达的问题比纯粹数 字题好。对于用字母表示的题,其结果很容易进行几次检验,而用数字表示的 题则不然。我们的例子虽然很简单,也足以证明这点。教师可以对结果提出好 几个问题,对这些问题,学生可以很容易地回答“是”;但如回答“不是” 这将表明结果中存在严重的缺点 你是否使用了所有的数据?是否所有数据a,b,c都在你的对角线公式中 出现?” “长、宽、高在我们的问题中起的作用是一样的,我们的问题对a,b,c 来说是对称的。你所得的公式对a,b,c对称吗?当a,b,c互换时公式是否保持 不变 “我们的问题是一个立体几何问题给定尺寸a,b,c,求平行六面体的对 角线。我们的问题与平面几何的问题类似:给定尺寸a、b,求矩形的对角线 这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似?” “如果高c减小,并且最后等于零,这时平行六面体变成平行四边形。在 你的公式中,令c=0,是否得到矩形对角线的正确公式?” 如果高c增加,则对角线也增加。你的公式是否表明这点?” “如果平行六面体的三个量度a,b,c按同一比例增加,则对角线也按同 比例增加。在你的公式中,如将a,b,c分别代以12a,12b,12c,则对角线 也将乘以12,是否这样?” “如果a,b,c的单位是尺,则你的公式给出的对角线的单位也是尺;如 果将所有单位改为寸,则公式应保持正确,是否如此?” (后两个问题基本上是等价的。参见“量纲检验”一节) 上述一些问题有几个好处。首先,公式通过这么多的检验,这一事实不能 不使一个聪明的学生产生深刻的印象。学生以前就相信公式是正确的,因为公 式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验,他就更深信无疑了,这种 信心的增加来源于一种“实验的数据”。正是由于上述问题,公式的细节获得 了新的意义,而且和不同的事实联系起来了。这样,公式就更容易记住,学生 的知识得以巩固。最后,上述问题很容易转到类似的题目上。对于类似题目获 得一些经验以后,一个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概念:即,利用所 有有关数据,改变数据,对称,类比。如果他养成了把注意力集中在这些地方 的习惯,他解题的能力肯定会提高。 你能检验这个论证吗?在困难而重要的场合,可能需要逐步地重新检验论 证。但通常,重新检査一下令人恼火之点就够了。在本例,可以建议讨论以前 提过的问题:你能证明具有三边x,y,c的三角形是直角三角形吗(见第12节末你能检验这个结果吗?教师不能指望从缺乏经验的学生那里得到这个问题 的良好回答。但是学生应该很早就获得下述经验：用字母表达的问题比纯粹数 字题好。对于用字母表示的题，其结果很容易进行几次检验，而用数字表示的 题则不然。我们的例子虽然很简单，也足以证明这点。教师可以对结果提出好 几个问题，对这些问题，学生可以很容易地回答“是”；但如回答“不是”， 这将表明结果中存在严重的缺点。 “你是否使用了所有的数据?是否所有数据a，b，c都在你的对角线公式中 出现?” “长、宽、高在我们的问题中起的作用是一样的，我们的问题对a，b，c 来说是对称的。你所得的公式对a，b，c对称吗?当a，b，c互换时公式是否保持 不变?” “我们的问题是一个立体几何问题给定尺寸a，b，c，求平行六面体的对 角线。我们的问题与平面几何的问题类似：给定尺寸a、b，求矩形的对角线， 这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似?” “如果高c减小，并且最后等于零，这时平行六面体变成平行四边形。在 你的公式中，令c=0，是否得到矩形对角线的正确公式?” “如果高c增加，则对角线也增加。你的公式是否表明这点?” “如果平行六面体的三个量度a，b，c按同一比例增加，则对角线也按同 一比例增加。在你的公式中，如将a，b，c分别代以12a，12b，12c，则对角线 也将乘以12，是否这样?” “如果a，b，c的单位是尺，则你的公式给出的对角线的单位也是尺；如 果将所有单位改为寸，则公式应保持正确，是否如此?” (后两个问题基本上是等价的。参见“量纲检验”一节) 上述一些问题有几个好处。首先，公式通过这么多的检验，这一事实不能 不使一个聪明的学生产生深刻的印象。学生以前就相信公式是正确的，因为公 式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验，他就更深信无疑了，这种 信心的增加来源于一种“实验的数据”。正是由于上述问题，公式的细节获得 了新的意义，而且和不同的事实联系起来了。这样，公式就更容易记住，学生 的知识得以巩固。最后，上述问题很容易转到类似的题目上。对于类似题目获 得一些经验以后，一个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概念：即，利用所 有有关数据，改变数据，对称，类比。如果他养成了把注意力集中在这些地方 的习惯，他解题的能力肯定会提高。 你能检验这个论证吗?在困难而重要的场合，可能需要逐步地重新检验论 证。但通常，重新检查一下令人恼火之点就够了。在本例，可以建议讨论以前 提过的问题：你能证明具有三边x，y，c的三角形是直角三角形吗(见第12节末