由此可得，七=%=-号，=0，代入1，解之得1=1.因此，所求点为M兮0 函数在该点的最大方向导数为 grad1=2√民+坊+弓=5 例35设m是曲面2x2+3y2+2=6在点P1,11)处的指向外侧的法向量，求函数 M=5+8亚在点P处沿方向n的方向导数： 分析先求方向a的方向象流然后求d一偿等岩，悟求二 解令Fx,yz)=2x2+3y2+z2-6,有F=4x,F=6yF=2: 曲面2x2+3y2+2=6上点PL,1)的法向量为 ±4x6y,2p=±22,3,1 在P点指向外侧，取正号，单位化可得 n店2i+3j+=.osH w后 6x a 8v - 所以 烈wa+wa+斜w后后后后而石号 例36设函数fx,)=2x2+m+92+2y在(1，-)处取得极值，试求常数a,并确定极 值的类型. 分析这是二元函数求极值的反问题，即知道x,)取得极值，只需要根据可导函数 取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题。 解因为x,)在(：，)处的偏导数均存在，因此点L-)必为驻点，则有 =4+a+yl=0 =2w+2-y=0 由此可得， 0 0 0 , , 0 2 2 t t x y z = = − = ，代入（1），解之得 t = 1 ．因此，所求点为 0 1 1 ( , ,0) 2 2 M − ， 函数在该点的最大方向导数为 0 2 2 2 0 0 0 2 2 M grad f x y z = + + = ． 例 35 设 n 是曲面 2 2 2 2 3 6 x y z + + = 在点 P(1,1,1) 处的指向外侧的法向量，求函数 2 2 6 8 x y u z + = 在点 P 处沿方向 n 的方向导数． 分析 先求方向 n 的方向余弦，然后求 , , uuu u x y z    =        grad ，再求 u n ． 解 令 2 2 2 F x y z x y z ( , , ) 2 3 6 = + + − ，有 4 , 6 , 2 F x F y F z x y z    = = = ． 曲面 2 2 2 2 3 6 x y z + + = 上点 P(1,1,1) 的法向量为 {4 ,6 ,2 } 2{2,3,1} P  =  x y z ． 在 P 点指向外侧，取正号，单位化可得 1 (2 3 ) {cos ,cos ,cos } 14 n i j k = + + =    ， 又 2 2 6 6 P P 6 8 14 u x x z x y  = =  + ， 2 2 8 8 P P 6 8 14 u y y z x y  = =  + ， 2 2 2 6 8 14 P P u x y z z  − + = = −  所以 cos cos cos P P P P u u u u x y z        = + +     n 6 2 8 3 1 11 14 14 14 14 14 14 7 =  +  −  = ． 例 36 设函数 2 2 f x y x ax xy y ( , ) 2 2 = + + + 在 (1, 1) − 处取得极值，试求常数 a，并确定极 值的类型． 分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道 f x y ( , ) 取得极值，只需要根据可导函数 取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题． 解 因为 f x y ( , ) 在 ( , ) x y 处的偏导数均存在，因此点 (1, 1) − 必为驻点， 则有 2 (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) 4 0 2 2 0 f x a y x f xy y − − − −   = + + =       = + =   