r=-司 所求切线方程为二=二=二3，所求法平面方程为3x-)+30y-)-仁-3)=0，即 3x+3y-:-3=0. 例32求曲面x22+3y2=22-8:上点1,2-)处的切平面和法线方程 分析关键在于求出切平面的法向量。 解令Fx,y,)=xz+3y2-2x2+8:,则曲面在(0,2，-)处的法向量为 n={20a-22,r+6yy-4c+82w={6,1l,14y, 因此，所求切平面方程为6x-)+11y-2)+14:+)=0,即6x-1y-14:+2=0: 所求法线方程为-_-2-+1 61114 例33证明：曲面：=日上任一点M的切平面都通过原点，其中函数)可微。 分析如果切平面过原点，则等价于向量OM在切平面上，从而OM垂直于切平面的 法向量n,只要求出切平面的法向量n后验证OM⊥n即可， 证明任取曲面上一点Mx,水)，该点的法向量 ==+()图=-r- 又0M=xy,则 0w=-+广-=)=0 即OM1n,从而可知曲面上任一点的切平面都通过原点。 例34在球面2x2+2y2+22=1上求一点，使函数fx,y)=x2+y2+2在该点处沿 4,1,)到B2,0,)方向的方向导数最大，并求出该最大方向导数. 分析求方向导数的最大值问题应结合梯度与方向导数的关系来求，即函数在一点处沿 梯度方向的方向导数最大，梯度的模即为方向导数的最大值。 解设M。(,)为所求点，则 26+26+26=1. (1) 由于函数在一点处沿梯度方向的方向导数最大，而 grad/八={2x,2%,2-}， 因此，要求gradS八与AB同向，即31>0，使 {2x,2%,2-}=14B-1{1,-1,0)1 1,1, 3   = −     T ， 所求切线方程为 1 1 3 3 3 1 x y z − − − = = − ，所求法平面方程为 3( 1) 3( 1) ( 3) 0 x y z − + − − − = ， 即 3 3 3 0 x y z + − − = ． 例 32 求曲面 2 2 2 x yz y xz z + = − 3 2 8 上点 (1,2, 1) − 处的切平面和法线方程． 分析 关键在于求出切平面的法向量． 解 令 2 2 2 F x y z x yz y xz z ( , , ) 3 2 8 = + − + ，则曲面在 (1,2, 1) − 处的法向量为     2 2 2 (1,2, 1) 2 2 , 6 , 4 8 6,11,14 xyz z x z y x y xz − n = − + − + = − ， 因此，所求切平面方程为 − − + − + + = 6( 1) 11( 2) 14( 1) 0 x y z ，即 6 11 14 2 0 x y z − − + = ； 所求法线方程为 1 2 1 6 11 14 x y z − − + = = − ． 例 33 证明：曲面 y z xf x   =     上任一点 M 的切平面都通过原点，其中函数 f u( ) 可微． 分析 如果切平面过原点， 则等价于向量 OM 在切平面上，从而 OM 垂直于切平面的 法向量 n ，只要求出切平面的法向量 n 后验证 OM n ⊥ 即可． 证明 任取曲面上一点 M x y z ( , , ) ，该点的法向量   2 1 , , 1 , , 1 x y y y y z z f xf xf x x x x  −        = − = +   −                     n , , 1 y f f f x   = − −       ， 又 OM ={ , , } x y z ，则 0 y xf yf yf z xf z x    = − + − = − =       OM n ， 即 OM n ⊥ ，从而可知曲面上任一点的切平面都通过原点． 例 34 在球面 2 2 2 2 2 2 1 x y z + + = 上求一点，使函数 2 2 2 f x y z x y z ( , , ) = + + 在该点处沿 A(1,1,1) 到 B(2,0,1) 方向的方向导数最大，并求出该最大方向导数． 分析 求方向导数的最大值问题应结合梯度与方向导数的关系来求，即函数在一点处沿 梯度方向的方向导数最大，梯度的模即为方向导数的最大值． 解 设 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 为所求点，则 2 2 2 0 0 0 2 2 2 1 x y z + + = ． （1） 由于函数在一点处沿梯度方向的方向导数最大，而   0 0 0 0 2 ,2 ,2 M grad f x y z = ， 因此，要求 M0 grad f 与 AB 同向，即  t 0 ，使 2 ,2 ,2 1,-1,0 x y z t AB = t 0 0 0 =   ．