产兴亲品器兴·亲 注尽管由方程组确定的隐函数的偏导数有相应的公式，但在具体的问题中可利用公式 的推导过程求偏导数，无需记公式，在对方程求偏导数的过程中，要注意相应的函数关系， 弄清哪些变量是自变量，哪些变量是因变量· x=1 例30在曲线{y=2上求一点，使曲线在该点的切线平行于平面x+2y+z=4. =3 分析要求切向量与己知平面x+2y+:=4的法向量m=1,2,1)垂直 解设所求点对应于1=，则曲线在该点的切向量为T={九，2弘，3}.要使切线平行于 己知平面，则要求T垂直于平面的法向量n=1,2,1},即 Tn=1+4+36=0, 解得，=-1或，=子因此，所求点为 -或6) 分析关键要求出切向量，可直接用公式，也可用公式的推导过程来推导求出， 解法1令Fx,八，)=x2+2-10,G(x,y)=y2+2-10,切向量 -份层乱后现}2- 所求切线方程为号-号-学，所果法平面方程为-+0-少-到=0：甲 3x+3y-2-3=0. 解法2起：看成是：的数。在方塑仁三0中对：求导，得 2x+2:=0 会+2=0 将M1,3)代入，得{ +3-0 ，解得 则切向量 1 1 x xv u uv  + =  − ， 1 x y v v uv  − =  − ， 1 y x u u uv  + =  − ， 1 1 y yu v uv  − =  − ． 注 尽管由方程组确定的隐函数的偏导数有相应的公式，但在具体的问题中可利用公式 的推导过程求偏导数，无需记公式．在对方程求偏导数的过程中，要注意相应的函数关系， 弄清哪些变量是自变量，哪些变量是因变量． 例 30 在曲线 2 3 x t y t z t  =   =   = 上求一点，使曲线在该点的切线平行于平面 x y z + + = 2 4 ． 分析 要求切向量与已知平面 x y z + + = 2 4 的法向量 n ={1,2,1} 垂直． 解 设所求点对应于 0 t t = ，则曲线在该点的切向量为   2 0 0 T = 1,2 ,3 t t ．要使切线平行于 已知平面，则要求 T 垂直于平面的法向量 n ={1,2,1} ，即 2 0 0 T n + = = t t 1+ 4 3 0， 解得 0 t = −1 或 0 1 3 t = − ，因此，所求点为 (− − 1,1, 1) 或 1 1 1 , , 3 9 27     − −   ． 例 31 求曲线 2 2 2 2 10 10 x z y z  + =   + = 在点 M(1,1,3) 处的切线和法平面方程． 分析 关键要求出切向量，可直接用公式，也可用公式的推导过程来推导求出． 解法 1 令 2 2 F x y z x z ( , , ) 10 = + − ， 2 2 G x y z y z ( , , ) 10 = + − ，切向量   0 2 2 2 2 0 , , 12, 12,4 2 2 2 0 0 2 M M M z z x x y z z y     = = − −       T ， 所求切线方程为 1 1 3 3 3 1 x y z − − − = = − ，所求法平面方程为 3( 1) 3( 1) ( 3) 0 x y z − + − − − = ， 即 3 3 3 0 x y z + − − = ． 解法 2 把 yz, 看成是 x 的函数，在方程组 2 2 2 2 10 10 x z y z  + =   + = 中对 x 求导，得 2 2 0 2 2 0 dz x z dx dy dz y z dx dx  + =    + =  ， 将 M(1,1,3) 代入，得 1 3 0 3 0 dz dx dy dz dx dx  + =    + =  ，解得 1 1 3 dy dx dz dx  =    = −  ． 则切向量