另一方面，血-兴k+止， 比较以上两式可得 哥器+哥智器是是+哥器 注用链式求导法则求多元抽象复合函数的偏导数的步骤： (1)按从因变量到自变量的顺序用有向线段表示函数关系，画出函数复合关系图 (2)找出函数到自变量（要求偏导数的自变量）的所有有向折线路径： (3)所求偏导数为一个和式，每条路径对应于和式的一项，而每一项为组成该路径的 所有有向折线对应的偏导数的乘积。可将该过程总结成一句话“沿线相乘，分线相加”· 例19(0翻设：=司引8()其中/其有二阶连续偏导数，g具有二阶连续 导数，求 分析∫是二元复合函数，有两个中间变量，可用公分别表示对第一、二个中间变 量求偏导数。8也是二元复合函数，但只有一个中间变量，故应该用g表示g对中间变量 的导数.应注意正确使用偏导数与导数符号. 解怎=+及-8 器+声+奶小-8 =f+wi-后-8-g 注题目中有∫具有二阶连续偏导数的条件，故=，从而含有后与：的项一定 要合并，如果没有这一条件，则不能合并含有后与的项. 例0(o1期)设画数：-列在)处可微。且/0-1，烈2，引3 =,求 分析本题关键是求，函数)=化化)可看成是由如下三个函数复合面 成的：p=fx,),u=fx,),v=x 解o0=/L/L=/=1,孟二3p0o0=3o0,因为 )=f,x,》+x,在fx,) =(x,fx,x》+x,x,xf(x,x)+'(x,x刃， 另一方面， u u du dx dz x z   = +   ， 比较以上两式可得 u f f f x x y x y t x           = + +        ， u f f z z y t z        = +      ． 注 用链式求导法则求多元抽象复合函数的偏导数的步骤： （1）按从因变量到自变量的顺序用有向线段表示函数关系，画出函数复合关系图； （2）找出函数到自变量（要求偏导数的自变量）的所有有向折线路径； （3）所求偏导数为一个和式，每条路径对应于和式的一项，而每一项为组成该路径的 所有有向折线对应的偏导数的乘积．可将该过程总结成一句话“沿线相乘，分线相加” ． 例 19（00 研）设 , x y z f xy g y x     = +         ，其中 f 具有二阶连续偏导数， g 具有二阶连续 导数，求 2 z x y    ． 分析 f 是二元复合函数，有两个中间变量，可用 1 2 f f   , 分别表示对第一、二个中间变 量求偏导数． g 也是二元复合函数，但只有一个中间变量，故应该用 g  表示 g 对中间变量 的导数．应注意正确使用偏导数与导数符号． 解 1 2 2 z y 1 yf f g x y x  = + −     ． 2 1 11 12 2 21 22 2 2 2 2 3 z x x y 1 1 1 f y xf f f xf f g g x y y y y y x x      = + − − + − − −                   1 2 11 22 2 3 2 3 1 1 x y f f xyf f g g y y x x  = − + − − −      注 题目中有 f 具有二阶连续偏导数的条件，故 12 21 f f   = ，从而含有 12 f  与 21 f  的项一定 要合并．如果没有这一条件，则不能合并含有 12 f  与 21 f  的项． 例 20（01 研） 设函数 z f x y = ( , ) 在 (1,1) 处可微，且 f (1,1) 1 = ， (1,1) 2 f x  =  ， (1,1) 3 f y  =  ， ( ) [ , ( , )] x f x f x x = ， 求 1 3 ( ) x d x dx  = ． 分析 本题关键是求 d x( ) dx  ，函数 ( ) ( , ( , )) x f x f x x = 可看成是由如下三个函数复合而 成的：  = f x u ( , )，u f x v = ( , )，v x = ． 解 (1) (1, (1,1)) (1,1) 1 = = = f f f ， 1 3 2 ( ) 3 (1) (1) 3 (1) x d x dx     = = =   ，因为 1 2 ( ) ( , ( , )) ( , ( , )) ( , ) d x f x f x x f x f x x f x x dx     = + 1 2 1 2 f x f x x f x f x x f x x f x x ( , ( , )) ( , ( , ))[ ( , ) ( , )]    = + + 