5.3解析函数的 Taylor展开 第6页 5.3解析函数的 Taylor展开 个幂函数在它的收敛圊內代表一个解析函数 如何把一个解析函数表示成幂级数? 定理5.1( Taylor)设函数f(x)在以a为圆心的圆C内及C上解析,则对于圆内的任何 点,f(2)可用幂级数展开为(或者说,f(2)可在a点展开为幂级数) f(a) n=0 其中 f() 2ni。(-a)m C取逆时针方向① 证根据 Cauchy积分公式,对于圆C内任意一点z,有 f()= f() 2πiJ 但是 此级数在≤r<1的区域中一致收敛,因此可以逐项积分 ()=如 h=o(-a)n+//()ds (-a) riSc(c ayn+ids=/m(a) f() 说明 1.定理的条件可以放宽,只要f(2)在C内解析即可 这时对于給定的z,总可以以a为圆心作一圆C',把z包围在圆内.∫(2)在C"内及 C"上是解析的 ①以后的围道积分,除特别说明的以外,均为逆时针方向Wu Chong-shi §5.3 ☛☞❬✝ ✝ Taylor ❭❪ ✟ 6 ✠ §5.3 ✖✗❫✔✑ Taylor ❴❵ ✳ →❛✧★➻❜ ➜↔↕ ❝❞❡❢✳ →✯✰✧★✳ ❊ ✬❣✳→✯✰✧★❢❤➨❛✐★ â ✴✵ 5.1 (Taylor) ❣✣✗ f(z) ✺❀ a ✢ ❁❂✤ ❁ C ❅❥ C ✈ ❰Ï✥✿❇r ❁❅✤✇❦ z ✼✥ f(z) ➄✲✕✖✗❧♠✢ (Û Ü⑤✥ f(z) ➄✺ a ✼❧♠✢✕✖✗) f(z) = X∞ n=0 an(z − a) n , Ô ❉ an = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ = f (n) (a) n! , C ✷♥❱♦ ❲ ♣ q ✳ ❋ ➁➂ Cauchy ß❺r✬✥❇r ❁ C ❅✇①✧✼ z ✥➎ f(z) = 1 2π i I C f(ζ) ζ − z dζ. ➉✚✥ 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a X∞ n=0  z − a ζ − a n . P✖✗✺     z − a ζ − a     ≤ r < 1 ✤Ö× ❉ ✧❊✽✾✥●P➄❀Þ✜ß❺✥ f(z) = 1 2π i I C "X∞ n=0 (z − a) n (ζ − a) n+1 # f(ζ)dζ = X∞ n=0  1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ  (z − a) n = X∞ n=0 an(z − a) n , an = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ = f (n) (a) n! . ⑤ s❸ 1. ■❝✤◆❖➄❀t✉✥ò▼ f(z) ✺ C ❅❰Ï❯ ➄✳ ➓➘ ✩✪✈✇➜ z ✥①② ③③ a ④ ❝⑤⑥✳ ❝ C 0 ✥ ❣ z ⑦⑧➻ ❝❞✳ f(z) ➻ C 0 ❞⑨ C 0 ✭ ➥✯✰➜✳ q ⑩❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿➀➁❷⑩➂❼➃➄➅➆➇➈➉➊