2.这里 Taylor展开的形式和实变函数中的 Taylor公式相同,但是条件不同 ★在实变函数中,f(x)的任何阶导数存在,还不足以保证 Taylor公式存在(或 Taylor公式收 ★在复变函数中,解析的要求(一阶导数存在)就足以保证 Taylor级数收敛 3.收敛范围函数f(2)的奇点完全决定了 Taylor级数的收敛半径.设b是f(z)的离a点最 近的奇点,则一般说来,收敛半径R=|-叫 ∫(z)在圆|z-叫<-a内处处解析,f(z)可以在圆内展开为 Taylor级数(或者说 Taylor级数在圆|z-a<-a內收敛),这就是说,∫(z)的 Taylor级数收敛半径不小 于|-a 收敛半径一般也不能大于|-叫.否则,b点就包含在收敛圆内,因而幂级数在收敛 圆内处处解析,与b点为奇点的假设矛盾(除非b点是可去奇点,见55节) 1+=∑(-,<1 函数的奇点z=±就决定了 Taylor级数的收敛半径R=1±i=1 而在实数范围内, Taylor级数的收敛半径与函数性质之间的联系就难以讨论 ∑(-)"x2 <1, 就难以理解收敛半径为何是1,因为函数1/(1+x2)在整个实轴上都是连续可导、并且任何阶导数 都是存在的 4. Taylor展开的唯一性给定一个在圆C内解析的函数,则它的 Taylor展开是唯一的,即 展开系数an是完全确定的 证假定有两个 Taylor级数在圆C内都收敛到同一个解析函数f(z) f(z)=ao+a1(z-a)+a2(2-a)2+…+an(z-a)y+ 取极限z→a,则由于级数在C内的任一闭区域中一致收敛,故有 逐项微商,再取极限z→a,又得 如此继续,即可证得 Taylor展开的唯一性告诉我们Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ 7 ✠ 2. ✦➋ Taylor ❧♠✤✫✬Ý➌➍✣✗ ❉ ✤ Taylor r✬➎➏✥➉✚◆❖ä➏✳ F ✺➌➍✣✗ ❉ ✥ f(x) ✤✇❦➐à✗◗✺✥➑ä❑❀ó❵ Taylor r✬◗✺ (Û Taylor r✬ ✽ ✾) ✳ F ✺❘➍✣✗ ❉ ✥❰Ï✤▼➌ (✧➐à✗◗✺) ⑥❑❀ó❵ Taylor ✖✗✽✾✳ 3. ❦❧➒➓ ✣✗ f(z) ✤➋✼➔➈→■⑨ Taylor ✖✗✤✽✾❃❄✳❣ b ✚ f(z) ✤➣ a ✼✮ ↔✤➋✼✥✿✧↕⑤④✥✽✾❃❄ R = |b − a| ✳ f(z) ➻ ❝ |z − a| < |b − a| ❞➙➙✯✰✥ f(z) ② ③ ➻ ❝❞➛➜④ Taylor ✐★ (➝➚➞✥ Taylor ✐★➻ ❝ |z − a| < |b − a| ❞↔↕) ✳➓➟➥➞✥ f(z) ➜ Taylor ✐★↔↕➙➛➠➡ ✪ |b − a| ✳ ↔↕➙➛✳➢➤➠➪➥ ✪ |b − a| ✳➦➭✥ b ➤➟ ⑦➧➻ ↔↕ ❝❞✥➨➫❛✐★➻ ↔↕ ❝❞➙➙✯✰✥➩ b ➤ ④➫➤➜➭➯ ➲➳ (➵ ➸ b ➤➥②➺➫ ➤✥➻ 5.5 ➼) ✳ 1 1 + z 2 = X∞ n=0 (−) n z 2n , |z| < 1. ✣✗✤➋✼ z = ±i ⑥→■⑨ Taylor ✖✗✤✽✾❃❄ R = | ± i| = 1 ✳ ❈✺➌✗ø ù❅✥ Taylor ✖✗✤✽✾❃❄❡✣✗á➽❽❾✤➾➚⑥➪❀✛å✳ 1 1 + x 2 = X∞ n=0 (−) nx 2n , −1 < x < 1, ⑥➪❀❝❰ ✽✾❃❄✢❦✚ 1 ✥●✢✣✗ 1/(1 + x 2 ) ✺➶s➌➹✈ ❮✚➘➴➄à✱➷✶✇❦➐à✗ ❮✚◗✺✤ ➬ 4. Taylor ➮➱✃❐✷❒ ❮ ■✧s✺ ❁ C ❅❰Ï✤✣✗✥✿❰✤ Taylor ❧♠✚Ï✧✤✥❯ ❧♠➚✗ an ✚➔➈é■✤✳ ❋ Ð■➎➏s Taylor ✖✗✺ ❁ C ❅❮✽✾ë➏✧s❰Ï✣✗ f(z) ✥ f(z) = a0 + a1(z − a) + a2(z − a) 2 + · · · + an(z − a) n + · · · = a 0 0 + a 0 1 (z − a) + a 0 2 (z − a) 2 + · · · + a 0 n (z − a) n + · · · . ✷ÑÒ z→a ✥✿ qr✖✗✺ C ❅✤✇✧ÕÖ× ❉ ✧❊✽✾✥❍➎ a0 = a 0 0 . Þ✜❱Ó✥Ô✷ÑÒ z → a ✥✿❨ a1 = a 0 1 . ✸PÕ➴✥ ❯ ➄❵❨ an = a 0 n, n = 0, 1, 2, · · · . Taylor ❧♠✤Ï✧ á ÐÑÒÓ❸