定理2设X是线性赋范空间,f是X上线性泛函,那末∫是X 上连续泛函的充要条件为f的零空间(f)是X中的闭子空间 证明设f是连续线性泛函,当xn∈(f),n=1,2,…,并且 xa→>z时,由∫的连续性,有f(x)=lmf(xn)=0,因此x∈(f), 所以(∫)是闭集 反之,若、(f)是闭集,而f无界,则在X中存在一列向量x xnl÷0,n=1,2,…,使得对每个n,成立 f(xn)≥nxn! 令孙n=xn/lxn,则nl-1,且|f(y)≥,作 zn=yn/f(3n)-1/f(1), 那末f(zn)=0,因此,zn∈(f),然而由于 lyn/f(yn)!=I/f(n)≤→>0,(n→∞) 所以xx→>-孙1/f(31),但f(一3/f(3)=-1,即一y1/f(3:)∈ (f),这与(f是闭集的条件矛盾,因此∫是线性有界泛函 证毕 我们最感兴趣的是使(3)式对一切纸的(们)成立的“最小”的 数c为此引入下面的基本概念 定义3设T为线性空间X的子空闻(T)到线性赋范空间 Y中的线性算子,称 T|= (4) 为算子们在2()上的范数 显然若T是(T)上线性有界算子,则們是一有限数,反之, 当們<∞时,由T的线性,则有 !Tx|≤1Tlx!,x(T) (5) 引理1设得是多(T)上线性有界算子,那末成立48