f(x)=∑f(e)=∑5n 由此可见n维线性空间上线性泛函与数组(a,a2,…,n)相对应 II.线性有界算子和线性连续泛函 定义2设X和Y是两个线性赋范空间,T是X的线性子空间 (T)到Y中的线性算子,如果存在常数o,使对所有x的(T),有 Tx"!≤c!z], 则称是②(m)到Y中的线性有界算子,当(们)=x时,称T为 X到F中的线性有界算子,简称为有界算子.对于不满足条件(3) 的算子,称为无界算子,本书主要讨论有界算子 线性算子由于具有可加性,所以它的连续性可用有界性来 描述 定理1设T是线性赋范空间X到线性赋范空间Y中的线性 算子,则T为有界算子的充要亲件为T是X上连续算子 证明若T有界,由(3)式,当x→时,因为 Txa-Tx"≤cl 所以肛 [n-T2>0,即Tx→Tx,因此T连续 反之,若T在X上连续,但T无界,这时在X中必有一列向量 使]zn!≠0,但 Txn|≥lxn 令孙“2/n=1,2,…,则l=→>0(a→∞),所以 由T的连续性,得到Ty-70=0,但由于T是线性算子,又可以得 到对一切自然数割,成立 ITy!=HT (ra/n=nd) =TEm/ngau>nEt/ninI=l, 这与Ty→0矛盾,所以T是有界算子:证毕 对于线性泛函,我们还有下面的定理47