T=sup!Tx】= sup Tr (6) 证明因为 ITI= sup iTr!!= sup 1- = sup z07 x39(T) x∈(T 令x,则!=1,且v∈(T),所以 T≤sup!T!≤up|Tx (7 反之,若r∈(T),x≤1,則由(5) Tx≤Tz≤:到, 所以 sup tr≤|r (8) 由(7)和(8)式,得知(6)式成立,证毕 II.线性有界算子和线性连续泛函的例子 例6线性赋范空间X上的相似算子Tx=ax是线性有界算 子,且!=|a|,特别Ix!=1,!O1=0 例7设X=C[0,13,K(,τ是矩形[0,1]×[0,1]上的二元 连装函数,对每个r∈C[0,门,定义 Tz(t)=K(t,τ)xr(r)dr 易知T是C[0,1]到C[0,1]中的线性算子,这个算子称为积分算 子,其中函数K(t,τ)称为T的核,又因为 a(t)≤max|x(t)|=!xl 所以 m2(4)x)m1(,)|x(a49