反之，若d=A(2)是P中非零数，令A'()表4()的伴随矩阵，则它也是入一矩阵由于 A.4'a-'a.4a=E d d 故A(2)可逆 $2入一矩阵初等变换下的标准形 定义3以下变换叫做入一矩阵的初等变换： (1)交换矩阵的两行（列）： (2)用非零数c乘矩阵的某一行（列）： (3)将矩阵某一行（列）的(2)倍加到另一行（列），这是()∈P[ 和数字矩阵一样，对应上述三种初等变换，也可引进初等矩阵，分别记为P亿，)，PG(c》P亿，j(()》 其作用也和数字阵中的初等矩阵相同初等矩阵均可逆且 P'6,)=P6,),P-'(ic》=Pi(白》P-'Gjoa》=P6j0a》 为了简便，今后用记号[，小表示交换1，j两行（列[(c]表示用c≠0乘i行（列）：[i+j(p]表示把j 行列的(2)倍加到1行（列）. 定义4若经一系列初等变换可将A)化为B(),则称A()与B()等价 易知等价关系且有反身性、对称性与传递性利用初等变换与初等矩阵的关系可得，A()与B()等 价的充要条件是有一系列初等矩阵B,B,.,P,2,22,.,2使 A()=R,B,.,PB(2)g,O2,.,g (0) 本节将证明任意一个入一矩阵都可经初等变换化为某种对角形.为此，先证 引理设A()的左上角元素a,(2)≠0.并且A()至少有一个元素不被它整除.那么必有与 4)等价的矩阵B(),它的左上角元素也不为零，但次数比a,()的次数低 证明4()的第一列中有一个元素a()不能被4(2)整除，则 aa(2)=a,(a)q)+r(2),r()≠0，(a)<a(a,(2) 对A()作下列初等行变换： 反之，若 d A = ( )  是 P 中非零数，令 A ( )   表 A( )  的伴随矩阵，则它也是  —矩阵.由于 ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A E d d        =  = 故 A( )  可逆. §2  —矩阵初等变换下的标准形 定义 3 以下变换叫做  —矩阵的初等变换： (1) 交换矩阵的两行(列)； (2) 用非零数 c 乘矩阵的某一行(列)； (3) 将矩阵某一行(列)的  ( ) 倍加到另一行(列)，这是    ( ) . P  和数字矩阵一样，对应上述三种初等变换，也可引进初等矩阵，分别记为 P i j P i c ( , ), ( ( )) P i j ( , ( ( )))   其作用也和数字阵中的初等矩阵相同.初等矩阵均可逆且 1 1 1 1 P i j P i j P i c P i P i j P i j ( , ) ( , ), ( ( )) ( ( )), ( , ( ( ))) ( , ( ( ))) c     − − − = = = 为了简便，今后用记号 i j ,  表示交换 i j , 两行(列). i c( ) 表示用 c  0 乘 i 行(列)； i j + ( )   表示把 j 行(列)的  ( ) 倍加到 i 行(列). 定义 4 若经一系列初等变换可将 A( )  化为 B( )  ，则称 A( )  与 B( )  等价. 易知等价关系且有反身性、对称性与传递性.利用初等变换与初等矩阵的关系可得， A( )  与 B( )  等 价的充要条件是有一系列初等矩阵 1 2 1 2 , , , , , , , P P P Q Q Q s t 使 1 2 1 2 ( ) , , , ( ) , , , A P P P B Q Q Q   = s t (1) 本节将证明任意一个  —矩阵都可经初等变换化为某种对角形.为此，先证 引理 设 A( )  的左上角元素 11 a ( ) 0   .并且 A( )  至少有一个元素不被它整除.那么必有与 A( )  等价的矩阵 B( )  ，它的左上角元素也不为零，但次数比 11 a ( )  的次数低. 证明 A( )  的第一列中有一个元素 1 ( ) i a  不能被 11 a ( )  整除，则 1 11 11 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0, ( ( )) ( ( ))) i a a q r r r a        = +     . 对 A( )  作下列初等行变换：