lx+jx=vy-iaxy也是连续函数 充分性设,v在点z=x0+iy处有阶连续偏微商,且满 足CR方程(3.1)记a-u1(xy),B=U(xo,y),那末 a(x,y)-a(x0,y)=a(x-x0)-(y-y)+E1(|△z|), z(x,y)-v(o, y,)=B(x-ro)+a(y-yo)+ E2(4I), 其中|△z|=√(x-x)2+(y-y)2,E,∈满足 lin5(4=) E2(|△z|) 0 z!→b 4x|·0 1 将第二式乘以i与第一式相加,得到 f(x)-f(x0)=(a+iB)(x-zo)+1(|A1)+e2(|△z|), 即为 f(z)-f(z0) (a+i)=s(42|)+ie2C|△z) 所 f(z)-/(z0) /(xo)=u(ro, yo)+iu, (o, yo) 定理证毕 但是有如下的 Loosen- Menchoff定理若f(x)在开集C中连续,且 /0f ax 与。在中每点都存在,且满足CR方程(31),则f(x)在 上全纯 Lootnen. Menchoff定理说明定理1中n,v有一阶连续偏微商 的条件是不必要的.前面所举的例子,f(z)-√1xy并不满足 Loosen- Menchoff定理的条件.当然在此不可能也无必要来证明 这个定理 在下一章§2.3中将证明:如f(x)=x+i在域D内全纯,则 13