统计意义上可以认为,∑kp就是平均每天出现的次品数。 以此为背景,我们引入下面的定义。 定义11.5.1设离散型随机变量ξ的可能取值为x1,x2,…xn2…,且5取相应 值的概率依次为p1,P2,…,Pn,…若级数∑xP绝对收敛,则称该级数的和为 随机变量ξ的数学期望,简称期望,记为Eξ,即 E5=∑xP 此时也称5的数学期望存在。若级数∑|x|p发散,则称5的数学期望不存在。 由数学期望的定义知,数学期望实质上是以概率为权的加权平均值,因此也 常称为均值。我们在定义中需要级数绝对收敛,是因为数学期望应该与对随机变 量取值的人为排序无关。只有当级数是绝对收敛时,才能保证收敛级数的和与求 和次序无关 对于连续型随机变量ξ,也应有数学期望的概念。如何得到呢?先做一个近 似分析。设ξ的概率密度为φ(x)(假设(x)连续),在实轴上插入分点 R1 则ξ落在[x1,x]中的概率为(记Ax1=x1-x1) ∈[x,x1)=∫x)ox)Ax,(=01 这时,如下分布的离散型随机变量ξ就可以看作ξ的一种近似 P p(xo )Ax qp(x1)△x 其数学期望为 E=∑x9(x)x 它近似地可看作ξ的平均值。可以想象,当分点在实轴上越来越密时,上述和式 就会以[x(x)x为极限。由此为背景,我们给出下面的定义。 定1152设5是连续型随机变量,其概率密度为o(x)若「1xw(x)b收 敛,则称∫x(x)t的值为随机变量5的数学期望,简称期望,记为E5,即 此时也称5的数学期望存在。若1x(x)发散,则称5的数学期望不存在 例11.5.1已知一箱中有产品100个,其中10个次品,90个正品。从中任 取5个,求这5个产品中次品数的期望值。 解设ξ为任意取出5个产品中的次品数,则ξ可取值0、1、2、3、4、5。统计意义上可以认为，   n k pk k 0 就是平均每天出现的次品数。 以此为背景，我们引入下面的定义。 定义 11.5.1 设离散型随机变量  的可能取值为 x1 , x2 ,  , xn ,  ，且  取相应 值的概率依次为 1 2 p , p , , pn ,  。若级数   i1 i pi x 绝对收敛，则称该级数的和为 随机变量  的数学期望，简称期望，记为 E ，即 E     i 1 i pi x 。 此时也称  的数学期望存在。若级数   1 | | i i pi x 发散，则称  的数学期望不存在。 由数学期望的定义知，数学期望实质上是以概率为权的加权平均值，因此也 常称为均值。我们在定义中需要级数绝对收敛，是因为数学期望应该与对随机变 量取值的人为排序无关。只有当级数是绝对收敛时，才能保证收敛级数的和与求 和次序无关。 对于连续型随机变量  ，也应有数学期望的概念。如何得到呢？先做一个近 似分析。设  的概率密度为 (x) （假设 x) 连续），在实轴上插入分点 n x  x  x 0 1 ， 则  落在 [ , ] i i1 x x 中的概率为（记 i i i x  x  x 1 ） i i x x i i P x x x dx x x i i         ( [ , ]) ( ) ) 1  1   （ i  0,1,  ,n 1 ）。 这时，如下分布的离散型随机变量  ~ 就可以看作  的一种近似  ~ 0 x 1 x … n x P 0 0 (x )x 1 1 (x )x … n n (x )x 其数学期望为     n i i i i E x x x 0 ) ~   ， 它近似地可看作  的平均值。可以想象，当分点在实轴上越来越密时，上述和式 就会以 x(x)dx    为极限。由此为背景，我们给出下面的定义。 定义 11.5.2 设  是连续型随机变量，其概率密度为 (x) 。若 | x |(x)dx    收 敛，则称 x(x)dx    的值为随机变量  的数学期望，简称期望，记为 E ，即 E x(x)dx     。 此时也称  的数学期望存在。若 | x |(x)dx    发散，则称  的数学期望不存在。 例 11.5.1 已知一箱中有产品 100 个，其中 10 个次品，90 个正品。从中任 取 5 个，求这 5 个产品中次品数的期望值。 解 设  为任意取出 5 个产品中的次品数，则  可取值 0、1、2、3、4、5