故所给迭代格式为三阶收敛。 8.设x0充分接近方程x"-a=0的某个根x,给 定迭代函数xn+1=(xn),其中 P(x)=x (m-1)x+(m+1)a (m≥2) (m+1)x"+(m-1)a 试证{xn}至少有三阶收敛速度。 证明:因为初值充分接近根x,所以我们可以用定 理3来证明。 ∴x是方程x"-a=0的根,∴(x)=a。并且 P(x)=x (m-1)(x)"+(m+1)a (m+1)(x)"+(m-1)a 我们将(1)式进行变形,得 (m+1)x"+(m-1)a|o(x)-(m-1)xm+1 (m+1)ax=0 对上式求一阶导数 m(m+1)xmo(x)+(m+1)xm+(m-1alo'(x) (m+1)m-1)x"-a(m+1)=0 解得:2mq(x")=0故所给迭代格式为三阶收敛。 8．设 0 x 充分接近方程 0 m x a − = 的某个根 * x ，给 定迭代函数 1 ( ) n n x x + = ，其中 ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) m m m x m a x x m x m a  − + + = + + − ( 2) m  （1） 试证 { }n x 至少有三阶收敛速度。 证明：因为初值充分接近根 * x ，所以我们可以用定 理 3 来证明。 * x 是方程 0 m x a − = 的根， * ( )m  = x a 。并且 * * * * * ( 1)( ) ( 1) ( ) ( 1)( ) ( 1) m m m x m a x x x m x m a  − + + = = + + − 我们将（1）式进行变形，得 1 ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) 0 m m m x m a x m x m ax  +   + + − − − − + =   对上式求一阶导数 1 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) '( ) ( 1)( 1) ( 1) 0 m m m m m x x m x m a x m m x a m   − + + + + −     − + − − + = 解得： 2 '( ) 0 ma x   =