分离定理:若被控系统可控可观测,当用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统 的极点配置和观测器设计可分别独立进行。即矩阵K与H的设计可分别独立进行。 4.李雅普诺夫稳定性分析 (1)李雅普诺夫意义下的稳定性: 平衡状态:在无外部激励的条件下,系统能维持在某个状态而不变化,即 则称x,为一个平衡状态。 零状态是线性系统的平衡状态,且当系统矩阵非奇异时,零状态是唯一的平衡状态。 李雅普诺夫稳定性:若要求‖x(t)-xE>0,存在δ(E,1)>0,只要 ‖x(t0)-x2|k<(t,0),上述条件更可满足,则称系统在x处稳定 (2)李雅普诺夫第二法(直接法): 标量函数(x)(如二次型函数)的定号性:正定、正半定、负定、负半定、不定。 李雅普诺夫稳定性定理:设系统状态方程为ⅸ=f(x,1),其平衡状态满足 f∫(0,1)=0,并设在原点邻域存在(x,1)对x的连续一阶偏导数,则有 定理1:若V(x,)正定,V(x,n)负定,则原点是渐近稳定的。 定理2:若V(x,1)正定,V(x,1)负半定,V[x(t;x0,0),]在非零状态不恒为零, 则原点是渐近稳定的。 定理3:若(x,1)正定,V(x,1)负半定,VLx(t;x0,10),门]在非零状态存在恒为零, 则原点是李雅普诺夫意义下稳定的 定理4:若V(x,)正定,V(x,1)正定,则原点是不稳定的。 当平衡状态不在原点时,可通过坐标变换将其置于原点上,坐标变换不改变系统的 固有性质 (3)线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析。设系统状态方程为文=Ax,A为 非奇异矩阵,故原点是唯一平衡状态。取二次型函数V(x)作为可能的李雅普诺夫函数, V(x)=x Px (x)=-x'Ox=x(A' P+AP)x 系统渐近稳定的充要条件是:给定一正定实对称矩阵Q,有唯一的正定实对称矩阵 P,AP+AP=-0成立。xPx是系统的一个李雅普诺夫函数。 线性定常离散系统x(k+1)=虹x(k),零平衡状态x。=0渐近稳定的充要条件是 任意给定一个正定实对称矩阵O,存在一个正定实对称矩阵P,满足李雅普诺夫方程 P'Po-P=-0 纯量函数[x(k)]=x(k)Px(k)是该离散系统的一个李雅普诺夫函数。如果沿系·262· 分离定理：若被控系统可控可观测，当用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统 的极点配置和观测器设计可分别独立进行。即矩阵 K 与 H 的设计可分别独立进行。 4. 李雅普诺夫稳定性分析 （1）李雅普诺夫意义下的稳定性： 平衡状态：在无外部激励的条件下，系统能维持在某个状态而不变化，即  0  e x x x 则称 e x 为一个平衡状态。 零状态是线性系统的平衡状态，且当系统矩阵非奇异时，零状态是唯一的平衡状态。 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 ： 若 要 求 || ( ) || 0 x t0  xe    ， 存 在 ( , ) 0   t0  ， 只 要 || ( ) || ( , ) 0 0 x t x t t  e   ，上述条件更可满足，则称系统在 e x 处稳定。 （2）李雅普诺夫第二法（直接法）： 标量函数V (x)（如二次型函数）的定号性：正定、正半定、负定、负半定、不定。 李雅普诺夫稳定性定理：设系统状态方程为 x  f (x,t) ，其平衡状态满足 f (0,t)  0 ，并设在原点邻域存在V (x,t)对 x 的连续一阶偏导数，则有 定理 1：若V (x,t)正定，V (x,t)  负定，则原点是渐近稳定的。 定理 2：若V (x,t)正定，V (x,t)  负半定， [ ( ; , ), ] 0 0 V x t x t t  在非零状态不恒为零， 则原点是渐近稳定的。 定理 3：若V (x,t)正定，V (x,t)  负半定， [ ( ; , ), ] 0 0 V x t x t t  在非零状态存在恒为零， 则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。 定理 4：若V (x,t)正定，V (x,t)  正定，则原点是不稳定的。 当平衡状态不在原点时，可通过坐标变换将其置于原点上，坐标变换不改变系统的 固有性质。 （3）线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析。设系统状态方程为 x  Ax, A 为 非奇异矩阵，故原点是唯一平衡状态。取二次型函数V (x)作为可能的李雅普诺夫函数， 即 V x x Px T ( )  则 V x x Qx x A P AP x T T T ( )    (  )  系统渐近稳定的充要条件是：给定一正定实对称矩阵Q ，有唯一的正定实对称矩阵 P ， A P AP Q T    成立。 x Px T 是系统的一个李雅普诺夫函数。 线性定常离散系统 x(k 1)  x(k) ，零平衡状态  0 e x 渐近稳定的充要条件是： 任意给定一个正定实对称矩阵Q ，存在一个正定实对称矩阵 P ，满足李雅普诺夫方程。 P P Q T      纯量函数V[x(k)] x (k)Px(k) T  是该离散系统的一个李雅普诺夫函数。如果沿系