第9章线性系统的状态空间分析与综合 重点与难点 、基本概念 线性系统的状态空间描述 (1)状态空间概念 状态反映系统运动状况,并可用以确定系统未来行为的信息集合 状态变量确定系统状态的一组独立(数目最少)变量,它对于确定系统的运动 状态是必需的,也是充分的。 状态向量以状态变量为元素构成的向量 状态空间以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上 的点来表示。 状态方程状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系,一般是 关于系统的一阶微分(或差分)方程组。 输出方程输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空 间表达式一般用矩阵形式表示: x= Ax+ Bu y=Cx+Du (2)状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图 传递函数等其他形式的数学模型导出。 (3)状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数(维数) 是确定的,但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后,仍可作 为状态向量来描述系统。状态变量选择不同,状态空间表达式形式也不一样。利用线性 变换的目的在于使系统矩阵A规范化,以便于揭示系统特性,利于分析计算。满秩线性 变换不改变系统的固有特性。 根据矩阵A的特征根及相应的独立特征向量情况,可将矩阵A化为三种规范形式: 对角形、约当形和模式矩阵。 (4)线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵p()(即矩阵指数e“)及其性质
·258· 第 9 章 线性系统的状态空间分析与综合 重点与难点 一、基本概念 1．线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动 状态是必需的，也是充分的。 状态向量 以状态变量为元素构成的向量。 状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上 的点来表示。 状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是 关于系统的一阶微分（或差分）方程组。 输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空 间表达式一般用矩阵形式表示： y Cx Du x Ax Bu (9.1) （2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、 传递函数等其他形式的数学模型导出。 （3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数） 是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作 为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性 变换的目的在于使系统矩阵 A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性 变换不改变系统的固有特性。 根据矩阵 A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵 A 化为三种规范形式： 对角形、约当形和模式矩阵。 （4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵(t)（即矩阵指数 At e ）及其性质：
p(0)= i.p()=Ad()=p(1)A ilp(t1+12)=p(t1)p(±t2)=p(±t2)p(1) iv.d-()=p(-1) [d()=d(k) vi. exp(An)exp(B1)=exp(A+ B)r(AB= ba) vi.exp(PAP1)=P-exp(A)P(P非奇异) 求状态转移矩阵(口)的常用方法: 拉氏变换法 d()=L-(sl-A)- 级数展开法 e=I+At+-A2t2+…+-Aktk+… (93) 齐次状态方程求解 (1)=p()x(0) (94) 非齐次状态方程式(9,1)求解 x()=P()r(0)+p(t-r)Bu(r)dr (9.5) (5)传递函数矩阵及其实现 传递函数矩阵G(s):输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系 G(S=C(S/-A)B+D 传递函数矩阵的实现:已知传递函数矩阵G(s),找一个系统{A,B,C,D}使式(96) 成立,则将系统{A,B,C,D}称为G(s)的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数 时,称该系统为G(s)的最小实现 传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标 准形实现、对角形实现和约当形实现等。 (6)线性定常连续系统的离散化及其求解 对式(9.1)表示的线性定常数连续系统进行离散化,导出的系统离散状态空间描述 为 x(k+1)=o(T)x(k)+G(T)u(k) l(k)=Cx(k)+ D(k) (9.8) 259·
·259· (9.8) i． (0) I ii． (t) A(t) (t)A iii. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 t t t t t t iv. ( ) ( ) 1 t t v. [ (t)] (kt) k vi. exp(At) exp(Bt) exp[(A B)t] (AB BA) vii. exp( ) exp( ) ( ) P 1APt P 1 At P P非奇异 求状态转移矩阵(t)的常用方法： 拉氏变换法 (t) L －1[( ) ] 1 sI A （9.2） 级数展开法 At A k t k k e I At A t ! 1 2 1 2 2 （9.3） 齐次状态方程求解 x(t) (t)x(0) （9.4） 非齐次状态方程式（9.1）求解 t x t t x t Bu 0 ( ) ( ) (0) ( ) ( )d （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现 传递函数矩阵G(s) ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系 G s C sI A B D 1 ( ) ( ) (9.6) 传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵G(s) ，找一个系统{A, B,C, D}使式（9.6） 成立，则将系统{A, B,C, D}称为G(s) 的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数 时，称该系统为G(s) 的最小实现。 传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标 准形实现、对角形实现和约当形实现等。 （6）线性定常连续系统的离散化及其求解 对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述 为 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) y k Cx k D k x k T x k G T u k
其中 (7)=g()=r G(T)=lo(r)Bdr 离散状态方程式(91)的解为 x(k)=φ(m)xO)+∑p-(T)GOu( (9.9) 2.线性系统的可控性与可观测性 (1)系统的(状态)可控性。设系统状态方程为x=Ax+Bu,若在有限时间间隔 r∈[o]内存在无约束的分段连续控制函数u(1),能使系统从任意初始状态x(t0)转移 到任意的终止状态x(r),则称系统是状态完全可控的,简称可控。 线性定常连续系统可控性常用判据: 1) rank [B AB A2B…AB]=n 2)当A为对角矩阵且特征根互异时,输入矩阵B中无全零行(当矩阵A有相同特 征根时不适用)。 当A为约当矩阵且相同特征根分布在一个约当块内时,输入矩阵中与约当块最后 行对应的行中不全为零,且输入矩阵中与相异特征根对应的行不全为零(当相同特征根 分布在两个或两个以上约当块时不适用) 3)(s-A)B的行向量线性无关。 4)单输入系统{A,B}为可控标准形。 5)单输入单输出系统,当由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消时,系 统可控、可观测(对多输入多输出系统不适用)。 连续系统状态方程离散化后的可控性:连续系统不可控,离散化的系统一定不可控 连续系统可控,离散化后的系统不一定可控(与采样周期的选择有关)。 (2)系统输出可控性。设系统状态空间表达式为式(9.1),若在有限时间间隔 t∈[o,t]内,存在无约束的分段连续控制函数u(1),能使系统从任意初始输出y(a)转 移到最终内测量到的输出y(),则称系统是输出完全可控的,简称输出可控。 输出可控性判据为 ank [CB CAB…CABD]=q(C阵的行数) 状态可控性与输出可控性是两个不同的概念,其间没有必然联系 单输入单输出系统,若输出不可控,则系统或不可控或不可观测。 (3)系统状态可观测性。已知输出()及有限时间间隔t∈[o,]内测量到的输出 y(1),若能唯一确定初始状态x(t0),则称系统是完全可观测的,简称可观测 常用可观测性判据 260
·260· 其中 t T T t ( ) ( ) T G T B 0 ( ) ( ) d 离散状态方程式（9.1）的解为 1 0 1 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) k i k k i x k T x T G T u i (9.9) 2. 线性系统的可控性与可观测性 （1）系统的（状态）可控性。设系统状态方程为 x Ax Bu ，若在有限时间间隔 [ , ] 0 f t t t 内存在无约束的分段连续控制函数u(t) ，能使系统从任意初始状态 ( ) 0 x t 转移 到任意的终止状态 ( ) f x t ，则称系统是状态完全可控的，简称可控。 线性定常连续系统可控性常用判据： 1） rank B AB A B A B n n [ ] 2 1 (9.10) 2）当 A 为对角矩阵且特征根互异时，输入矩阵 B 中无全零行（当矩阵 A 有相同特 征根时不适用）。 当 A 为约当矩阵且相同特征根分布在一个约当块内时，输入矩阵中与约当块最后一 行对应的行中不全为零，且输入矩阵中与相异特征根对应的行不全为零（当相同特征根 分布在两个或两个以上约当块时不适用）。 3） sI A B 1 ( ) 的行向量线性无关。 4）单输入系统{A, B}为可控标准形。 5）单输入单输出系统，当由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消时，系 统可控、可观测（对多输入多输出系统不适用）。 连续系统状态方程离散化后的可控性：连续系统不可控，离散化的系统一定不可控； 连续系统可控，离散化后的系统不一定可控（与采样周期的选择有关）。 （2）系统输出可控性。设系统状态空间表达式为式（9.1）,若在有限时间间隔 [ , ] 0 f t t t 内，存在无约束的分段连续控制函数u(t) ，能使系统从任意初始输出 ( ) 0 y t 转 移到最终内测量到的输出 ( ) f y t ，则称系统是输出完全可控的，简称输出可控。 输出可控性判据为 rank[ CAB C D] ( ) CB A n1B q C阵的行数 状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，其间没有必然联系。 单输入单输出系统，若输出不可控，则系统或不可控或不可观测。 （3）系统状态可观测性。已知输出u(t) 及有限时间间隔 [ , ] 0 f t t t 内测量到的输出 y(t) ，若能唯一确定初始状态 ( ) 0 x t ，则称系统是完全可观测的，简称可观测。 常用可观测性判据：
rankc A'C (A)C=n 2)当A为对角矩阵且有相异特征值时,输出矩阵无全零列(A阵有相同特征值时 不适用) 当A为约当阵且相同特征值分布在一个约当块时,输出矩阵中与约当块最前一列对 应的列不全为零,输出矩阵中与相异特征值对应的列不全为零(相同特征值分布在两个 或更多个约当块时不适用 3)C(s1-A)的列向量线性无关。 4)单输出系统{A,C}为可观测标准形。 连续系统离散化后的可观测性:连续系统不可观测,离散化后一定不可观测;连续 系统可观测,离散化后不一定可观测(与采样周期的选择有关) 对偶原理:线性系统S1{A,B,C}与S2{A4,C,B}互为对偶系统。若系统S可控 则S2可观测;若系统S1可观测,则S2可控。 (4)线性定常系统的规范分解。从可控性、可观测性出发,状态变量可分解为可控 可观测x。、可控不可观测xσ、不可控可观测x。和不可控不可观测x。四类。以此对应 将状态空间划分为四个子空间,系统也对应分解为四个子系统,这称为系统的规范分解。 研究规范分解能更明显地提示系统结构特性和传递特性 3.线性定常系统的状态反馈与状态观测器 (1)状态反馈与极点配置。用状态反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控系 统可控 状态反馈不改变系统的零点,只改变系统的极点 在引入状态反馈后,系统可控性不变,但其可观测性不一定与原系统一致。单输入 无零点系统在引入状态反馈后不会出现零极点对消,故其可观测性与原系统保持一致 (2)输出反馈(到状态微分处)与极点配置。用输出反馈实现闭环极点任意配置的 充要条件是被控系统可观测 输出反馈不改变系统的零点。 在引入输出反馈后不改变系统的可观测性,但其可控性不一定与原系统保持一致。 (3)输出到输入参考点的常值增益反馈可以配置的闭环极点数为min{n,p+q-1}, 式中p= rankB, q= rankC,故一般情况下不能像输出到状态微分处反馈那样仼意配置 系统闭环极点 4)状态观测器及其设计。若被控系统{A,B,C}可观测,则其状态可用形如 x=(a-Hc)i+ Bu+ Hy 的全维状态观测器给出估值。矩阵H按任意配置极点的需要来选择,以决定状态误差衰 减的速率
·261· 1） rank C A C A C n T T T T n T [ ( ) ] 1 (9.11) 2）当 A 为对角矩阵且有相异特征值时，输出矩阵无全零列（ A 阵有相同特征值时 不适用）。 当 A 为约当阵且相同特征值分布在一个约当块时，输出矩阵中与约当块最前一列对 应的列不全为零，输出矩阵中与相异特征值对应的列不全为零（相同特征值分布在两个 或更多个约当块时不适用）。 3） 1 ( ) C sI A 的列向量线性无关。 4）单输出系统{A,C}为可观测标准形。 连续系统离散化后的可观测性：连续系统不可观测，离散化后一定不可观测；连续 系统可观测，离散化后不一定可观测（与采样周期的选择有关）。 对偶原理：线性系统 { , , } S1 A B C 与 { , , } 2 T T T S A C B 互为对偶系统。若系统 1 S 可控， 则 2 S 可观测；若系统 1 S 可观测，则 2 S 可控。 （4）线性定常系统的规范分解。从可控性、可观测性出发，状态变量可分解为可控 可观测 co x 、可控不可观测 co x 、不可控可观测 co x 和不可控不可观测 co x 四类。以此对应 将状态空间划分为四个子空间，系统也对应分解为四个子系统，这称为系统的规范分解。 研究规范分解能更明显地提示系统结构特性和传递特性。 3. 线性定常系统的状态反馈与状态观测器 （1）状态反馈与极点配置。用状态反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控系 统可控。 状态反馈不改变系统的零点，只改变系统的极点。 在引入状态反馈后，系统可控性不变，但其可观测性不一定与原系统一致。单输入 无零点系统在引入状态反馈后不会出现零极点对消，故其可观测性与原系统保持一致。 （2）输出反馈（到状态微分处）与极点配置。用输出反馈实现闭环极点任意配置的 充要条件是被控系统可观测。 输出反馈不改变系统的零点。 在引入输出反馈后不改变系统的可观测性，但其可控性不一定与原系统保持一致。 （3）输出到输入参考点的常值增益反馈可以配置的闭环极点数为 min{n, p q 1}， 式中 p rankB, q rankC ，故一般情况下不能像输出到状态微分处反馈那样任意配置 系统闭环极点。 （4）状态观测器及其设计。若被控系统{A, B,C}可观测，则其状态可用形如 xˆ (A HC)xˆ Bu Hy (9.12) 的全维状态观测器给出估值。矩阵 H 按任意配置极点的需要来选择，以决定状态误差衰 减的速率
分离定理:若被控系统可控可观测,当用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统 的极点配置和观测器设计可分别独立进行。即矩阵K与H的设计可分别独立进行。 4.李雅普诺夫稳定性分析 (1)李雅普诺夫意义下的稳定性: 平衡状态:在无外部激励的条件下,系统能维持在某个状态而不变化,即 则称x,为一个平衡状态。 零状态是线性系统的平衡状态,且当系统矩阵非奇异时,零状态是唯一的平衡状态。 李雅普诺夫稳定性:若要求‖x(t)-xE>0,存在δ(E,1)>0,只要 ‖x(t0)-x2|k<(t,0),上述条件更可满足,则称系统在x处稳定 (2)李雅普诺夫第二法(直接法): 标量函数(x)(如二次型函数)的定号性:正定、正半定、负定、负半定、不定。 李雅普诺夫稳定性定理:设系统状态方程为ⅸ=f(x,1),其平衡状态满足 f∫(0,1)=0,并设在原点邻域存在(x,1)对x的连续一阶偏导数,则有 定理1:若V(x,)正定,V(x,n)负定,则原点是渐近稳定的。 定理2:若V(x,1)正定,V(x,1)负半定,V[x(t;x0,0),]在非零状态不恒为零, 则原点是渐近稳定的。 定理3:若(x,1)正定,V(x,1)负半定,VLx(t;x0,10),门]在非零状态存在恒为零, 则原点是李雅普诺夫意义下稳定的 定理4:若V(x,)正定,V(x,1)正定,则原点是不稳定的。 当平衡状态不在原点时,可通过坐标变换将其置于原点上,坐标变换不改变系统的 固有性质 (3)线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析。设系统状态方程为文=Ax,A为 非奇异矩阵,故原点是唯一平衡状态。取二次型函数V(x)作为可能的李雅普诺夫函数, V(x)=x Px (x)=-x'Ox=x(A' P+AP)x 系统渐近稳定的充要条件是:给定一正定实对称矩阵Q,有唯一的正定实对称矩阵 P,AP+AP=-0成立。xPx是系统的一个李雅普诺夫函数。 线性定常离散系统x(k+1)=虹x(k),零平衡状态x。=0渐近稳定的充要条件是 任意给定一个正定实对称矩阵O,存在一个正定实对称矩阵P,满足李雅普诺夫方程 P'Po-P=-0 纯量函数[x(k)]=x(k)Px(k)是该离散系统的一个李雅普诺夫函数。如果沿系
·262· 分离定理：若被控系统可控可观测，当用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统 的极点配置和观测器设计可分别独立进行。即矩阵 K 与 H 的设计可分别独立进行。 4. 李雅普诺夫稳定性分析 （1）李雅普诺夫意义下的稳定性： 平衡状态：在无外部激励的条件下，系统能维持在某个状态而不变化，即 0 e x x x 则称 e x 为一个平衡状态。 零状态是线性系统的平衡状态，且当系统矩阵非奇异时，零状态是唯一的平衡状态。 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 ： 若 要 求 || ( ) || 0 x t0 xe ， 存 在 ( , ) 0 t0 ， 只 要 || ( ) || ( , ) 0 0 x t x t t e ，上述条件更可满足，则称系统在 e x 处稳定。 （2）李雅普诺夫第二法（直接法）： 标量函数V (x)（如二次型函数）的定号性：正定、正半定、负定、负半定、不定。 李雅普诺夫稳定性定理：设系统状态方程为 x f (x,t) ，其平衡状态满足 f (0,t) 0 ，并设在原点邻域存在V (x,t)对 x 的连续一阶偏导数，则有 定理 1：若V (x,t)正定，V (x,t) 负定，则原点是渐近稳定的。 定理 2：若V (x,t)正定，V (x,t) 负半定， [ ( ; , ), ] 0 0 V x t x t t 在非零状态不恒为零， 则原点是渐近稳定的。 定理 3：若V (x,t)正定，V (x,t) 负半定， [ ( ; , ), ] 0 0 V x t x t t 在非零状态存在恒为零， 则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。 定理 4：若V (x,t)正定，V (x,t) 正定，则原点是不稳定的。 当平衡状态不在原点时，可通过坐标变换将其置于原点上，坐标变换不改变系统的 固有性质。 （3）线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析。设系统状态方程为 x Ax, A 为 非奇异矩阵，故原点是唯一平衡状态。取二次型函数V (x)作为可能的李雅普诺夫函数， 即 V x x Px T ( ) 则 V x x Qx x A P AP x T T T ( ) ( ) 系统渐近稳定的充要条件是：给定一正定实对称矩阵Q ，有唯一的正定实对称矩阵 P ， A P AP Q T 成立。 x Px T 是系统的一个李雅普诺夫函数。 线性定常离散系统 x(k 1) x(k) ，零平衡状态 0 e x 渐近稳定的充要条件是： 任意给定一个正定实对称矩阵Q ，存在一个正定实对称矩阵 P ，满足李雅普诺夫方程。 P P Q T 纯量函数V[x(k)] x (k)Px(k) T 是该离散系统的一个李雅普诺夫函数。如果沿系
统任一状态轨迹运动(x(k)=0除外),其△x(k)]=-x(k)Ox(k)≠0,则Q可取正 半定矩阵 二、基本要求 线性系统的状态空间描述 (1)正确理解状态空间有关概念 (2)熟练掌握建立元件、系统状态空间表达式的方法。 (3)掌握状态空间表达式向可控、可观测标准形、对角形、约当形等规范形式变换 的基本方法 (4)熟练掌握系统实现的常用方法 (5)熟练掌握依状态空间表达式{A,B,C,D}求系统传递矩阵G(S)的方法。 (6)熟练掌握线性系统状态方程求解方法。特别要掌握状态转移矩阵φ(冮)的性质及 求取方法 2.线性系统的可控性和可观测性 (1)正确理解可控性、可观测性的基本概念 (2)熟练掌握判定系统可控、可观测性的充要条件及有关方法 (3)理解可控性、可观测性与系统传递函数的关系 (4)理解线性系统规范分解的作用和意义,了解规范分解的一般方法 3.线性定常系统的状态反馈与状态观测器 (1)正确理解利用状态反馈任意配置系统极点的有关概念,熟练掌握按系统指标要 求确定状态反馈矩阵K的方法。 2)正确理解利用输岀反馈任意配置系统极点的有关概念,熟练掌握指标要求确定 输出反馈矩阵H的方法。 (3)正确理解分离定理,熟练掌握依状态观测器要求设计观测器的方法,并会用之 构成状态反馈控制系统 4.李雅普诺夫稳定性分析 (1)正确理解李雅普诺夫稳定性的有关概念 (2)初步掌握寻求系统李雅普诺夫函数判定系统稳定性的方法 、重点与难点 重点 (1)状态转移矩阵的定义;矩阵指数的求取:状态方程的解。 (2)系统能控性和能观测性定义的理解;系统能控性和能观测性的判别。 (3)状态反馈的设计。 2.难点 (1)矩阵的求逆、矩阵的秩、矩阵的相乘等矩阵运算
·263· 统任一状态轨迹运动（ x(k) 0除外），其 V[x(k)] x (k)Qx(k) T ≠0，则Q 可取正 半定矩阵。 二、基本要求 1．线性系统的状态空间描述 （1）正确理解状态空间有关概念。 （2）熟练掌握建立元件、系统状态空间表达式的方法。 （3）掌握状态空间表达式向可控、可观测标准形、对角形、约当形等规范形式变换 的基本方法。 （4）熟练掌握系统实现的常用方法。 （5）熟练掌握依状态空间表达式{A, B,C, D}求系统传递矩阵G(s) 的方法。 （6）熟练掌握线性系统状态方程求解方法。特别要掌握状态转移矩阵(t)的性质及 求取方法。 2．线性系统的可控性和可观测性 （1）正确理解可控性、可观测性的基本概念。 （2）熟练掌握判定系统可控、可观测性的充要条件及有关方法。 （3）理解可控性、可观测性与系统传递函数的关系。 （4）理解线性系统规范分解的作用和意义，了解规范分解的一般方法。 3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器 （1）正确理解利用状态反馈任意配置系统极点的有关概念，熟练掌握按系统指标要 求确定状态反馈矩阵 K 的方法。 （2）正确理解利用输出反馈任意配置系统极点的有关概念，熟练掌握指标要求确定 输出反馈矩阵 H 的方法。 （3）正确理解分离定理，熟练掌握依状态观测器要求设计观测器的方法，并会用之 构成状态反馈控制系统。 4．李雅普诺夫稳定性分析 （1）正确理解李雅普诺夫稳定性的有关概念。 （2）初步掌握寻求系统李雅普诺夫函数判定系统稳定性的方法。 三、重点与难点 1. 重点 （1）状态转移矩阵的定义；矩阵指数的求取；状态方程的解。 （2）系统能控性和能观测性定义的理解；系统能控性和能观测性的判别。 （3）状态反馈的设计。 2. 难点 （1）矩阵的求逆、矩阵的秩、矩阵的相乘等矩阵运算
(2)矩阵指数的计算,状态方程的求解。 (3)系统能控性、能观测性问题以及稳定性概念的理解
·264· （2）矩阵指数的计算，状态方程的求解。 （3）系统能控性、能观测性问题以及稳定性概念的理解
