第8章非线性控制系统的分析 例题解析 例8-1设非线性系统具有典型结构,试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想 继电特性(见图8-1(a)对系统稳定性的影响 图8-1稳定性分析 解:由等效增益定义K=y/x知,等效增益曲线如图8-1(b)所示,其中Kn=M/Δ 设系统不存在非线性时,临界稳定增益为K,于是 ①若K>Km,如图8-1(b)所示,则因实际增益小于临界增益Kc,所以系统稳定 ②若KKm,系统不 稳定,x发散;当x增加至使x>x时,此时K<K,系统稳定,x收敛;当x减小至使 x<xo时,重复上述过程。可见,在这种情况下,系统将出现以x为振幅的自激振荡 ③原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后,改善了系统的稳定性。不论原系 统是否发散,现系统都不会发散,但可能产生一个以x为振幅的自激振荡。 例8-2试求图8-2所示非线性环节的描述函数 (b)
·43· 第 8 章 非线性控制系统的分析 例题解析 例 8-1 设非线性系统具有典型结构，试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想 继电特性(见图 8-1(a))对系统稳定性的影响。 图 8-1 稳定性分析 解：由等效增益定义 K y / x 知，等效增益曲线如图 8-1(b)所示，其中 K m M / 。 设系统不存在非线性时，临界稳定增益为 Kc，于是 ① 若 Kc>Km，如图 8-1(b)所示，则因实际增益小于临界增益 Kc，所以系统稳定 ② 若 Kcx0时，此时 K K m ，系统稳定，x 收敛；当 x 减小至使 x<x0时，重复上述过程。可见，在这种情况下，系统将出现以 x0为振幅的自激振荡。 ③ 原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后，改善了系统的稳定性。不论原系 统是否发散，现系统都不会发散，但可能产生一个以 x0为振幅的自激振荡。 例 8-2 试求图 8-2 所示非线性环节的描述函数。 （a） （b）
图8-2非线性环节 解:(1)对于图8-2(a),因为y=x3,x= Xsin ot且单值奇对称,故 B yin adot x'sinatdort =4 X3 sin otdot==X B N(X=-+j 图8-3 (2)对于图8-2(b),因为图示非线性可以分解为图8-3所示两个环节并联,所以 K 例8-3试将图8-4(a),(b)所示系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联 的典型结构。 (b) 图8 解:(1)G1与G是小回路的负反馈,则 1+G,G 从而得典型结构,见图8-5。 N 1+201 图8-5
·44· 图 8-2 非线性环节 解：（1）对于图 8-2（a），因为 y x , x X sint 3 且单值奇对称，故 A1＝0 3 2 0 3 4 2 0 3 4 2 0 4 3 sin 4 sin 1 sin 1 B1 y td t X td t X td t X 1 1 2 4 3 ( ) X X A j X B N X 图 8-3 （2）对于图 8-2（b），因为图示非线性可以分解为图 8-3 所示两个环节并联，所以 K X M N X N X N X 4 ( ) ( ) ( ) 1 2 例 8-3 试将图 8-4（a），（b）所示系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联 的典型结构。 （a） （b） 图 8-4 解：（1）G1与 G2是小回路的负反馈，则 1 2 1 1 G G G G 从而得典型结构，见图 8-5。 图 8-5
(2)在图8-4(b)中,先将主反馈回路与G1连结构成闭环,得到 G再与H1串联得 G=GH 1+G, 最终得到典型结构,见图8-6(a),(b)。 ((3) His 1+() (b) 例8-4系统结构图如图8-7所示。试归化为一个非线性环节与一个线性部分串联 的典型 Is +1 G 解:(1)求线性部分的传递函数G(s) 1)串联后做为G2的反馈通道 H=GG.= (0.1s+1)(s+1) 见图8-8 1)线性部分的反馈回路等效为线性部分G (s),如图8-9所示
·45· 图 8-8 （2）在图 8-4（b）中，先将主反馈回路与 G1连结构成闭环，得到 1 1 1 G G G G 再与 H1串联得 1 1 1 G HG G G H 最终得到典型结构，见图 8-6（a），（b）。 （a） （b） 图 8-6 例 8-4 系统结构图如图 8-7 所示。试归化为一个非线性环节与一个线性部分串联 的典型。 图 8-7 解：（1）求线性部分的传递函数 G（s）： 1）串联后做为 G2的反馈通道 (0.1 1)( 1) 20 1 3 s s H G G 见图 8-8。 1）线性部分的反馈回路等效为线性部分 G （s），如图 8-9 所示
G(s)= 1+G2H1+G1G2G3 (0.1s+1)(s+1) S(0.ls+1)(s+1)+20 (1)归化的典型结构,见图8-10 y N(E) G G(s 1+GG,G3 图8-9 例8-5将图8-1所示的非线性系统简化成非线性部分N(A)和等效线性部分G(s) 相串联的典型结构(以便应用描述函数法)。写出等效线性部分的传递函数。 解:对于图(a),可简化成图8-12,再化为图8-13。 Gs) HIs (b) 图8-11 =0 1+H(s) 图8-12 图8-13 等效线性部分的传递函数为 G(s)=G1(s)1+H(S) 对于图(b),可简化成图8-14,再化为图8-15 G(s>hC r=0+ H,(s)
·46· (0.1 1)( 1) 20 (0.1 1)( 1) 1 1 ( ) 1 2 3 2 2 2 s s s s s G G G G G H G G s （1） 归化的典型结构，见图 8-10 图 8-9 图 8-10 例 8-5 将图 8-11 所示的非线性系统简化成非线性部分 N(A)和等效线性部分 G(s) 相串联的典型结构(以便应用描述函数法)。写出等效线性部分的传递函数。 解：对于图(a)，可简化成图 8-12，再化为图 8-13。 （a） （b） 图 8－11 图 8-12 图 8-13 等效线性部分的传递函数为： G(s)=G1(s)[1+H1(s)] 对于图(b)，可简化成图 8-14，再化为图 8-15
图8-14 图8-15 等效线性部分的传递函数为:G(s)= G1(s)H1(s) 1+G1(s) 例8-6试确定图8-16所示非线性环节的描述函数。 (1)将图8-16所示非线性特性分解为典型特性之和,见图8-17 由非线性可知,并联非线性环节其描述函数代数相加,故 N(X)=N1(X)+N2(X) (2)查表求出典型非线性特性N1(X),N2(X N1(X)为典型继电特性,其描述函数可据表 查出M(x)≈4 zN2(X)=K是放大环节 (3)求非线性环节的描述函数N(X),即 N(X)=N(X)+N2(X)=4M+K 图8-16 M + 例8-7设非线性系统如图8-18所示,试讨论参数T对系统自振的影响。若T=0.25 试求出输出振荡的振幅和频率 -当 1+s 图8-18
·47· 图 8-16 图 8-14 图 8-15 等效线性部分的传递函数为： 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 G s G s H s G s 例 8-6 试确定图 8-16 所示非线性环节的描述函数。 （1）将图 8-16 所示非线性特性分解为典型特性之和，见图 8-17。 由非线性可知，并联非线性环节其描述函数代数相加，故 ( ) ( ) ( ) N0 X N1 X N2 X （2）查表求出典型非线性特性 N1（X），N2（X）。 N1（X）为典型继电特性，其描述函数可据表 查出 N1（X）= ; 4 X M N2 (X ) K 是放大环节。 （3）求非线性环节的描述函数 N（X），即 K X M N X N X N X 4 ( ) ( ) ( ) 1 2 图 8-17 例 8-7 设非线性系统如图 8-18 所示，试讨论参数 T 对系统自振的影响。若 T＝0.25， 试求出输出振荡的振幅和频率。 图 8-18
4Mh M 解:N(X)= 元X N0(X)=4N0(X),X>h其中 X 4;h=1,且 X X No() 4 h 其虚部Im =-=-0.7854,实部R 的计算数据如下 No(X) No(X) N(x)」00364035136-163182335+617816 由于G(s 10(s+1)(TS+1) Goo) -10(1+T)o+jl0(1-7e2) 当T 025时,G(O)= 125,10(1-0.250) 。其实部、虚部计算数据如下: 101215 Im G(o) 42142x4346a47102074314x142a6 利用上述数据,在复平面上作出4G(jm)曲线(T=0.25)和-1/N(X)曲线,如图 8-19所示。由图可见,B点对应自振,自振参数为X/h=1.1,=12。因h=1,所 以自振振幅X=1.1,频率O=12 将振幅X折算到输出端,考虑到: (Ts+1)s+1 X(s) 所以输出振幅 0.346 s+1)s+1) s=门12 故输出端振荡的振幅c=0346,频率=12.(0) 为讨论T对自振的影响,令
·48· 图 8-19 解： N X N X X h h M X Mh j X h X M N X ( ) 4 ( ), 4 1 4 ( ) 2 0 0 2 其中，M ＝4；h＝1，且 j h X N X X h j X h X h N X 1 ( ) 4 1 4 1 4 ( ) 2 0 2 2 0 其虚部 0.7854 ( ) 4 1 Im 0 N X ，实部 ( ) 1 Re N0 X 的计算数据如下： 由于 3 2 3 10(1 ) 10(1 ) , ( ) 10( 1)( 1) ( ) T j T G j s s Ts G s ，当 T＝ 0.25 时， 3 2 2 12.5 10(1 0.25 ) ( ) G j j 。其实部、虚部计算数据如下： 利用上述数据，在复平面上作出 4G( j) 曲线(T 0.25) 和 1/ ( ) N0 X 曲线，如图 8-19 所示。由图可见，B 点对应自振，自振参数为 X / h 1.1， 12 。因 h 1，所 以自振振幅 X 1.1，频率 12 将振幅 X 折算到输出端，考虑到： ( ) ( 1)( 1) ( ) C s s Ts s X s 所以输出振幅 0 346 1 1 1 1 12 . ( )( ) . X s j X X Ts s s c 故输出端振荡的振幅 cX＝0.346，频率 12 。 为讨论 T 对自振的影响，令 X/h 1 1．1 2 2 2.3 2.5 3 4 5 6 10 11 ( ) 1 Re 0 N x 0 -0.36 -0.785 -1.36 -1.63 -1.8 -2.22 -3.04 -3.85 -4.61 -7.81 -8.6 1.5 1.7 2.0 2.2 2.3 2.5 3 4 5 6 7 10 12 15 Re G ( j ) -5.56 -4.33 -3.13 -2.58 -2.36 -2 -1.39 -0.78 -0.5 -0.35 -0.26 -0.13 -0.09 0.06 Im G ( j ) 1.3 0.57 0 -0.2 -0.27 -0.36 -0.46 -0.47 -0.42 -0.37 -0.33 -0.24 -0.2 -0.16
y=ImGo)=101-7m2) 由=0得O2T=3,代入y得 令4y ,得T 320=0.138。此时对应4G(o)曲 线-l/N0(X)曲线相切 由上可见,T对系统自振的影响为:T<0.138,4G()与-1/N(X)无交点,系统 不产生自振,但系统不稳定:T0.138,4G(0)与-1/N(X)有两个交点A和B,如 图8-19所示。小扰动时自振,大扰动时发散。T越大,自振振幅越小,自振频率越高 例8-8设非线性系统结构图如图8-20所示,试分析系统的稳定性 0.1s+ 图8-20非线性系统结构图 解:设内回路输出为c’,原系统结构图经等效变换后如图8-21所示,其中,N代表 原结构图中的饱和非线性环节。线性部分的传递函数为 G(s)= (S+1)(0.1s+1) S(0.l+(s+1)+20 饱和特性的描述函数为 图8-21等效结构图 N(X)==arcsin + 1-(-) 丌 N(X) arcsin -+ 利用计算机,求出G(jo)与-1/N(X)曲线的交点参数为O=421,X=1.712,说明该
·49· 图 8-21 等效结构图 3 2 10(1 ) Im ( ) T y G j 由 0 d dy 得 3 2 T ，代入 y 得 3 / 2 min 3 20 T y 令 ( ) 4 1 4 Im 0 min N X y ，得 0.138 320 3 2 / 3 T 。此时对应 4G( j) 曲 线 1/ ( ) N0 X 曲线相切。 由上可见，T 对系统自振的影响为：T0.138， 4G( j) 与 1/ ( ) N0 X 有两个交点 A 和 B，如 图 8-19 所示。小扰动时自振，大扰动时发散。T 越大，自振振幅越小，自振频率越高。 例 8-8 设非线性系统结构图如图 8-20 所示，试分析系统的稳定性。 图 8-20 非线性系统结构图 解：设内回路输出为c，原系统结构图经等效变换后如图 8-21 所示，其中，N 代表 原结构图中的饱和非线性环节。线性部分的传递函数为 (0.1 )( 1) 20 ( 1)(0.1 1) ( ) s s s s s G s 饱和特性的描述函数为 2 2 ) 1 1 ( 1 1 arcsin 2 ( ) 1 ) , 1 1 1 ( 1 1 arcsin 2 ( ) X X X N X X X X X N X 利用计算机，求出G( j) 与 1/ N(X ) 曲线的交点参数为 4.21，X＝1.712，说明该
系统存在周期运动。为确定该周期运动是否稳定,需判断G(s)中正极点个数P。由G(s) 分母,画出等效系统 K G'(s) s(0.ls+1)(s+1) 的根轨迹,如图8-22所示。该等效系统的闭环极点(K=20)即为G(s)的极点。由根轨迹知 当K>11时,G(s)有两个极点在右半复平面,故P=2 k=1 图8-22 图8-23 将G(o)与-1/N(X)曲线绘在图8-23中,在两曲线交点M附近沿X增大方向取 一点Q,作为等效(-1,j0)点,G()曲线在该点以远有 N-N=0≠P/2=1 故该非线性系统的周期运动解是不稳定的 例8-9试求图8-24所示非线性系统的等效形 G(S) 图8-24非线性系统 解:()对图8-24(a),由于非线性的对称性,故只需要考虑x>0的情况。当y有 输出时,y=K2(x1-△2)。此时,x1=K1(x-△1),故 y=K2[K1(x-△1)-△2]=K1K2[x-(41+)=K(x-△) 其中,K=KK2:△=△1+ K
·50· 系统存在周期运动。为确定该周期运动是否稳定，需判断 G(s)中正极点个数 P。由 G(s) 分母，画出等效系统 (0.1 1)( 1) ( ) s s s K G s 的根轨迹，如图 8-22 所示。该等效系统的闭环极点(K=20)即为 G(s)的极点。由根轨迹知， 当 K>11 时，G(s)有两个极点在右半复平面，故 P＝2。 图 8-22 图 8-23 将G( j) 与 1/ N(X ) 曲线绘在图 8-23 中，在两曲线交点 M 附近沿 X 增大方向取 一点 Q，作为等效（-1，j0）点，G( j) 曲线在该点以远有 0 / 2 1 N N P 故该非线性系统的周期运动解是不稳定的。 例 8-9 试求图 8-24 所示非线性系统的等效形式。 （a） (b) 图 8-24 非线性系统 解：(1) 对图 8-24（a），由于非线性的对称性，故只需要考虑 x>0 的情况。当 y 有 输出时， ( ) 2 1 2 y K x 。此时， ( ) 1 1 1 x K x ，故 [ ( ) ] [ ( )] ( ) 1 2 2 1 1 2 1 2 1 K x K y K K x K K x 其中，K＝K1K2； 1 2 1 K
利用非线性环节的对称性,可得等效非线性特性如图8-25(a)所示。图8-25(b) 为非线性系统的等效形式。 (2)对图8-24(b),由于非线性的对称性,故只需要考虑x>0的情况。 c(s) 图8-25等效形式 当x1>Δ时,y=M,否则y=0;当x1>0时,x1=K(x-h)。令x=△,则 有△=K(x-h),故 即当x=+h时,x1>△,y=M。所以等效非线性特性如图8-25(c)所示 其中S4 +h K 例8-10已知非线性控制系统结 构如图8-26(a)所示。为使系统不 “年“ 产生自振,试利用描述函数法确定继 电特性参数a,b的值 图8-26(a) 解 NC 46 X≥a -X丌 N(X) 图8-26(b) 当X→>0时 当X→∞时, N(X-∞ 所以必然存在极值。由
·51· 图 8-26（b） 利用非线性环节的对称性，可得等效非线性特性如图 8-25（a）所示。图 8-25（b） 为非线性系统的等效形式。 （2）对图 8-24（b），由于非线性的对称性，故只需要考虑 x>0 的情况。 （a） （b） （c） 图 8-25 等效形式 当 x1 时， y M ，否则 y 0；当 0 x1 时， ( ) 1 x K x h 。令 x1 ，则 有 K(x h) ，故 h h x 即当 h h x 时， x1 ， y M 。所以等效非线性特性如图 8-25（c）所示， 其中 h K S 。 例 8-10 已知非线性控制系统结 构如图 8-26（a）所示。为使系统不 产生自振，试利用描述函数法确定继 电特性参数 a，b 的值。 解： 2 1 ( ) 4 ( ) X a X b N X X a 2 4 1 ( ) ( ) 1 X a b X N X 当 X 0时， ( ) 1 N X 当 X 时， ( ) 1 N X 所以必然存在极值。由 图 8-26（a）
N() X.-2Xa X>a dX N(X 令 0,得X=√2a,则 再求G(o) 与实轴的交点 s(0.8s+1)(s+1) ∠G(jo)=-丌 得 z g(0.80) 可以求得 1-0.8 G(jo)L.s (080)2+1*√o2+ 也就是G(m)和实轴交点为(-4/3,0)。G(s)正极点个数p=0。为使系统不产 生自振,应使-,、和G(o)两曲线无交点,如图8-26(b)所示。所以应有 a 也就是 例8-11本题共两小题。 (1)已知图8-27(a)所示非线性系统,图示中a=b=1,当G(s)=1,G(s)=s 时,试分析系统是否产生自振。若产生自振,求自振的振幅和频率;若不产生自振,试 判别系统的稳定性。 X
·52· 2 2 2 2 3 2 2 4 1 X a X a X Xa dX b N X d ( ) ( ) X a 令 0 ( ) 1 dX N X d ，得 X 2a ，则 b a N X x a ( ) 2 1 2 再求 (0.8 1)( 1) 3 ( ) s s s G j 与实轴的交点。 令 G( j) 得 － arctg(0.8 ) arctg 2 可以求得 1－0.8 0 2 2 5 3 4 (0.8 ) 1 * 1 1 ( ) 2 5 2 2 2 5 G j 也就是G( j) 和实轴交点为（－4/3， 0）。G（s）正极点个数 p=0。为使系统不产 生自振，应使 ( ) 1 N X 和G( j) 两曲线无交点，如图 8-26（b）所示。所以应有 3 4 2 b a 也就是 a b 3 8 例 8-11 本题共两小题。 （1）已知图 8-27（a）所示非线性系统，图示中 a b 1，当G(s) 1，G(s) s 时，试分析系统是否产生自振。若产生自振，求自振的振幅和频率；若不产生自振，试 判别系统的稳定性。 2 1 ( ) 4 ( ) X a X b N X