第2章控制系统的数学基础与数学模型 例题解析 例2-1机械系统如图2-1所示,()为外力,M,M为质量,b1和b2为阻尼系数 k为弹性系数。求以质量M的速度v和位移x1为输出,n()为输入时的系统的传递函数。 解:先画出以M和M的受力图如图2-2。 根据图2-2,列出如下方程 M11+b1(v1-V2)+b2v1=r M2v2+kx2=b,(v1-v2) β2 零初始条件下进行拉氏变换,并整理得 (M1s+b+b2)1(s)-bV2(s)=R(s) M b1(s)+(M2S+b1+-)2(s)=0 ()51() M2可2 ↑BmB1(m-0) P(t) M 图2-1机械系统 (-2) p(t) 图2-2 消去中间变量V2(s)得 M.s+b+ V1(s) (Ms+h+b2M2++k一b R(S) 所以,以V(s)为输出,R(s)为输入的传递函数是 G()=1(s) Ms+bs+k R(S)(M,S+b,+b2)(M2S"+b,s+k)-bi's 若输出为M的位移x1,则由于s(s)=Hi(s),故其传递函数为
·8· 第 2 章 控制系统的数学基础与数学模型 例题解析 例 2-1 机械系统如图 2-1 所示，r(t)为外力，M1，M2为质量，b1和 b2为阻尼系数， k 为弹性系数。求以质量 M1的速度 v1和位移 x1为输出，r(t)为输入时的系统的传递函数。 解: 先画出以 M1和 M2的受力图如图 2-2。 根据图 2-2，列出如下方程: 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 ( ) ( ) v x M v kx b v v M v b v v b v r 零初始条件下进行拉氏变换，并整理得: ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 V s s k b V s M s b M s b b V s b V s R s 图 2-1 机械系统 图 2-2 消去中间变量 V2(s)得 ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 R s b s k M s b b M s b s k M s b V s 所以，以 V1(s)为输出，R(s)为输入的传递函数是 M s b b M s b s k b s M s b s k R s V s G s 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 若输出为 M1的位移 x1，则由于 sX1(s)= V1(s)，故其传递函数为 M1 M2 M2 M1
x1(s)_11(s) bs+k G(s)= R(S) S R(S) S(M,S+b,+b)(M2 5+b,S+k)-bis 例2-2如图2-3所示的RC电路,试画出其结构图,并求出其传递函数 Ui(s) Us)2(s) 解:输入为Y(σ),输出为Yo(σ),其他参数如图所示根据电路定律得(直接写成频谱形式 U2(s)-U(s) 1,(s)-1,s)=I(s) (s)-=U(s) U(s-U () R2 I,(s) 上述五个式子结构如图24 I2(o) I(o) 15 Y(o) Y(o) (o) 2(o)Yo( R, 将输入量Y(o)置于最左边,输出量Y。o)置于最右边,将各子结构图按逻辑连接起来
·9· 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s M s b b M s b s k b s M s b s k R s V s R s s X s G s 例 2-2 如图 2-3 所示的 RC 电路，试画出其结构图，并求出其传递函数。 图 2-3 解:输入为输出为其他参数如图所示根据电路定律得直接写成频谱形式 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) U s C s I s I s R U s U s U s C s I s I s I s I s I s R U s U s o O i 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 上述五个式子结构如图 2-4 － － － 图 2-4 将输入量置于最左边，输出量置于最右边，将各子结构图按逻辑连接起来， 1 1 R 21 R G s11 G s21
构成系统完整的结构图,如图2-5所示 UAS) 点击击 图2-5 为了求出传递函数,需将此结构图等效变换如图2-6和2-7 所以传递函数为 G()=o(s) U(S)(R,CIS+I(R2C2S+1)+RC2S Uds) 图2-6 RC-S+I RCS+ 图2-7 例2-3系统结构图如图2-8所示求传递函数。 HI 解:用结构图2-9等效变换 图2-8
·10· Ui(s) U (s) Uo(s) I1(s) I (s) I2(s) － － － Uo(s) － － U Uo(s) i(s) － 构成系统完整的结构图，如图 2-5 所示。 图 2-5 为了求出传递函数，需将此结构图等效变换如图 2-6 和 2-7 所以传递函数为： U s R C s R C s R C s U s G s i O 1 1 2 2 1 2 ( 1)( 1) 1 ( ) ( ) ( ) 图 2-6 图 2-7 例 2-3 系统结构图如图 2-8 所示,求传递函数。 R(s) C(s) － + 解: 用结构图 2-9 等效变换法求解。 1 1 R 2 1 R G s21 G s11 Ui(s) 11 R Cs11 2 1 R Cs21 R1 C2s 1 1 R1C1s 1 1 R2C2s R2C2s G1 G2 G3 G4 H3 H1 图 2-8
HaIG R(S) HE 图2-9 得传递函数为 (s) C(S) GG2G,G4 R(S)1-G3G4H1+G2G3H2+G,G2G3G4H3 例24用结构图等效变换法,求图2-10所示系统的传递函数() R(S) C(s) “6*L H2 图2-10结构图 解 R(s) b+Ghr H,G R(s) C(s) GI+G: +G2(H2G1+H1) 图2-11
·11· － － ＋ 图 2-9 得传递函数为 3 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 ( ) 1 ( ) ( ) G G H G G H G G G G H G G G G R s C s G s 例 2-4 用结构图等效变换法，求图 2-10 所示系统的传递函数 ( ) ( ) R s C s 。 R(s) + C(s) － － 图 2-10 结构图 解: + R(s) － － G1 G2 H1 H2 G3 G1 G2 G3 H2/G4 G4 H3 H1 R(s) C(s) H2G G1 G2 G3 H1 G1+G3 1 ( ) 2 2 1 1 2 G H G H G R(s) C(s) 图 2-11
得传递函数为C(s)(G1+G)G2 R(s)1+G2(H2G1+H1) 例2-5结构图如图212所示,求C(S) R(S) C(s) H Hs HI 等效方法一: R(s) H3 H2/G4-HI G.. 1+G2G3H3 S) H4/G2 H2/G4-H1
·12· － － － － ＋ － － － 得传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 3 2 G H G H G G G R s C s 例 2-5 结构图如图 2-12 所示，求 ( ) ( ) R s C s 。 R(s) C(s) _ _ 图 2-12 等效方法一: R(s) C(s) R(s) C(s) 图 2-13 G1 G2 G3 H2 G4 H3 H1 H4 G1 2 3 3 2 3 4 1 G G H G G G H4/G2 H2/G4－H1 G1 G2 G3 G4 H2/G4－H1 H4 1/G2 H3
C(s) GGG.G 解得G(s)R(s)1+G2G1H3+GGH4+GG2GH2-GG2GGH1 等效方法二 R(s) C(s) H3 1/G4 H2 1/G4 HI 结果同上。 例26某系统的结构如图2-15所示,试求系统的传递函数C(S。 R(s) s R∞“k rs+1 图2-15 1 C(s) 5
·13· 解得 2 3 3 3 4 4 1 2 3 2 1 2 3 4 1 1 2 3 4 ( ) 1 ( ) ( ) G G H G G H G G G H G G G G H G G G G R s C s G s 等效方法二: － R(s) C(s) － － － 图 2-14 结果同上。 例 2-6 某系统的结构如图 2-15 所示，试求系统的传递函数 ( ) ( ) R s C s 。 图 2-15 解: 图 2-16 G1 H4 G2 G3 G4 H3 H2 H1 1/G4 1/G4
+ 1 R(s) +1 C(s) 图2-18 ts+l (r+1)s+1 s(s+1) l)s+1 图2-20
·14· 图 2-17 ＋ ＋ R(s) R(s) C(s) － 图 2-18 R(s) － C(s) － 图 2-19 图 2－20 1 s1 ) ( 1) [( 1) 1] s s k s ( 1) ( 1) 1 s s s s s k 2 s 1 s k 1 1 s k s s 1 1 s 2 s1 s 1 －
所以 C(s) R(S) 例2-7系统结构如图2-21所示,求C(s) R(s R(s) C(s) 图2-21 解:用等效变换法求解。 HI s C(s) 图 2-22 H1/G2 R(S) C(s) 1/G2 图2-23
·15· - - - - - － － － － － － － － － 所以， 1 ( ) ( ) ( ) R s C s G s 例 2-7 系统结构如图 2-21 所示，求 ( ) ( ) R s C s 。 R(s) C(s) B A 图 2-21 解: 用等效变换法求解。 R(s) C(s) 图 2-22 R(s) C(s) 图 2-23 G G H G G1 G2 H1 G3 G2 G1+G3 1/G2 H1/G2 G3
R(s) G2(G1+G3) P C(s) 1+H1+G2 f(1+H1+G2) G2(G1+G3) R(s) G2G1+G3) C(s) 1+H1+G2 1/G 图2-25 R(s) G,G2-G3-G,H C(s) 1+H1+G1+G,+G G2G1+G3) HI 1+H1+G1+G2+G3 所以 Glel-C(s G2-G3-G3H1 R(s)1+H,+G,+G,+G,G,-G,NH, 例2=8系统结构如图27所示。试求C1(S),C(S),C2(S),C2(S) R1(s)R2(S)R1(s)R2(s)
·16· - - - R(s) C(s) 图 2-24 － R(s) C(s) － － 图 2-25 R(s) C(s) － R(s) C(s) － 图 2-26 所以 ( ) ( ) ( ) R s C s G s 1 1 2 1 2 3 1 1 2 3 3 1 1 H G G G G G H G G G G H 和 例 2-8 系统结构如图 2-27 所示。试求 ( ) ( ) 1 1 R s C s ， ( ) ( ) 2 1 R s C s ， ( ) ( ) 1 2 R s C s ， ( ) ( ) 2 2 R s C s 。 1/G2 G31 2 2 1 3 1 ( ) H G G G G 1 2 2 1 3 1 ( ) H G G G G 1/G2 ( ) (1 ) 2 1` 3 3 1 2 G G G G H G 1 1 2 3 2 1 3 1 ( ) H G G G G G G ( ) 2 1 3 1 2 3 3 1 G G G G G G G H 1 1 2 3 1 2 3 3 1 1 H G G G G G G G H
R2 图2-27 解:用结构图等效变换法求解。如图2-28和2-29。 B→克]]-a H/G R 图2-28 G1 HI H2/G2 R2 G.G. 图2-29 17
·17· R1 R2 C2 C1 ＋ R2 R 1 C2 ＋ R2 R1 ＋ C2 C 1 ＋ － 图 2-27 解: 用结构图等效变换法求解。如图 2-28 和 2-29。 + C1 － 图 2-28 图 2-29 G G2 G3 G4 G5 G6 H2/G2 H G6 H1 H2/G2 G3 1 2 1 2 1 G G G G 4 4 5 1 G G G G G2 G G G G H H