第7章线性禹散系统的分析与校正 重点与难点 、基本概念 1.脉冲传递函数及其特性 +∞(t=0 脉冲函数的定义:(1)= 0(t≠0) 脉冲函数的基本性质:d()dn=1 脉冲函数的抽样性质:x()6(-0)dt=x() 冲函数的频幸特性6()的频谱:⊥)c-dr=1 时移脉冲6(-10)的频谱:」o(-b6)e-d=e 均匀脉冲序列:67()=∑(t-m7 其频谱为 dr(De-joundr 22 ∑a(o-non)=a2o(o) 式中o 为采样角频率 按照傅里叶反变换公式可得: 6,0)=r2(o)-do=1∑ 2.信号的采样及恢复 设连续信号x()的频谱为x(a)=x()edo,x()的采样信号为 x(1)=x(1)6n(01)=∑x(n7)o(-nT 故采样信号的频谱为 X(o)=r(e"d=T 2X(-noo2Xo-nt
·1· 第 7 章 线性离散系统的分析与校正 重点与难点 一、基本概念 1. 脉冲传递函数及其特性 脉冲函数的定义： 0 ( 0) ( 0) ( ) t t t 脉冲函数的基本性质： (t)dt 1 脉冲函数的抽样性质： ( ) ( )d ( ) 0 0 x t t t t x t 脉冲函数的频率特性[ (t)的频谱]： (t)e dt 1 jt 时移脉冲 ( ) 0 t t 的频谱： 0 ( ) d 0 j t j t t t e t e 均匀脉冲序列： n T (t) (t nT ) 其频谱为： n j t T n T t e t ( ) ( ) 2 ( ) d 0 0 0 式中 T 2 0 为采样角频率。 按照傅里叶反变换公式可得： n j t jn t T e T t e 0 0 1 ( ) d 2 1 ( ) 0 2. 信号的采样及恢复 设连续信号 x(t) 的频谱为 ( ) ( ) d , ( ) 0 X x t e t x t jt 的采样信号为 0 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n T x t x t t x nT t nT 故采样信号的频谱为： T X n T X n T X x t e t n n j t 1 2 ( ) 1 ( ) ( ) d 0 * *
即连续信号经采样后,频谱产生周期性延拓 如果要使采样信号x(1)不失真地复显出x(1),采样频率Oo(或采样周期T)与频 谱X(O)必须满足以下条件 X()当有载止频率o,即|o卜o时X(o)=0 O 或T 为了避免高于ω_/2频率的干扰频谱进入采样,造成频谱混淆,可以在采样信号后 加一低通滤波器。最简单的低通滤波器是零阶保持器,它能把某一时刻nT的采样值,恒 值地保持到下一个采样时刻(n+1)T,其传递函数为 频率特性为 G1(j0)=7.Sn(o7/2),-1/2 T/2 3.z变换 离散函数x(m)的Z变换定义为 X(-)=2x(n)=∑x(m) z变换存在的条件是 ∑|x(m)|=n<∞ 离散函数的Z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法等 Z反变换的方法有长除法、部分分式法、留数计算法等 4.离散控制系统的数字描述 差分方程表达了系统输出在采样时刻的性能。对于完全是离散的系统,其输入、输 出信号均为离散信号的线性系统,可用N阶线性差方程来描述: y(n)=∑axmn-)-∑by(n-0 如图7.1所示的开环系统,g()为 (1) (1) 系统的连续时间脉冲响应。根据卷积和 g(t) 公式,t=kT时系统的输出为 y(7)=∑[g(k-n)]x(n7 y(O 图7.1开环采样系统
·2· x(t) x*(t) y*(t) y (t) 即连续信号经采样后，频谱产生周期性延拓。 如果要使采样信号 ( ) * x t 不失真地复显出 x(t) ，采样频率 0 （或采样周期T ）与频 谱 X () 必须满足以下条件： c c c c T X X 或 当有载止频率 即 时 2 ( ) , | | ( ) 0 0 为了避免高于 / 2 c 频率的干扰频谱进入采样，造成频谱混淆，可以在采样信号后 加一低通滤波器。最简单的低通滤波器是零阶保持器，它能把某一时刻 nT 的采样值，恒 值地保持到下一个采样时刻 (n 1)T ，其传递函数为 s e G s Ts h 1 ( ) 频率特性为 / 2 / 2 sin( / 2) ( ) j T h e T T G j T 3. Z 变换 离散函数 x(n) 的 Z 变换定义为 0 ( ) [ ( )] ( ) n n X z Z x n x n z Z 变换存在的条件是 0 | ( ) | n n x n z 离散函数的 Z 变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法等。 Z 反变换的方法有长除法、部分分式法、留数计算法等。 4. 离散控制系统的数字描述 差分方程表达了系统输出在采样时刻的性能。对于完全是离散的系统，其输入、输 出信号均为离散信号的线性系统，可用 N 阶线性差方程来描述： n i n i i i y n a x n i b y n i 0 1 ( ) ( ) ( ) 如图 7.1 所示的开环系统，g(t)为 系统的连续时间脉冲响应。根据卷积和 公式，t kT 时系统的输出为： kn y kT g k n T x nT 0 ( ) [ ( ) ] ( ) g(t) 图 7.1 开环采样系统
当系统给定时,g(iT)为常数。这样根据上式就可写出系统的差分方程。 系统的脉冲传递函数(又叫〓传递函数)是指在零初始条件下,系统输出的Z变换 与输入的Z变换之比,即 G() X(二 脉冲传递函数即可根据系统连续传递函数G(s)或脉冲响应g(1)求取,也可根据系 统的差分方程求取 可以证明:当若干个环节串联时,如果环节间均有同步采样器,则系统总的传递 函数等于各组成环节z传递函数的乘积,即 G(=)=G1()G2(=)…Gn(二) 如果串联环节之间无同步采样器,则系统的〓传递函数G(二)等于各组成环节的s传 递函数相乘后的Z变换,即 G(=)=G1G2…Gn(=) 闭环系统的〓传递函数,根据采样开关的位置不同有不同的形式。几种典型闭环离 散系统的方框图及其输出的Z变换参见表7-1 表7-1几种典型闭环离散系统的方框图及其输出的Z变换 序号 系统方框图 输出的Z变换Y() K气ae (-)≈G(x)R(-) 1+GH(=) y(=)=.G(=)R= 2“0 Y(2)GR() 不LG() G2(=)G1R 1+GG2H(=)
·3· 当系统给定时， g(iT ) 为常数。这样根据上式就可写出系统的差分方程。 系统的脉冲传递函数（又叫 z 传递函数）是指在零初始条件下，系统输出的 Z 变换 与输入的 Z 变换之比，即 ( ) ( ) ( ) X z Y z G z 脉冲传递函数即可根据系统连续传递函数G(s) 或脉冲响应 g(t) 求取，也可根据系 统的差分方程求取。 可以证明：当若干个环节串联时，如果环节间均有同步采样器，则系统总的 z 传递 函数等于各组成环节 z 传递函数的乘积，即 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 G z G z G z G z n 如果串联环节之间无同步采样器，则系统的 z 传递函数G(z) 等于各组成环节的 s 传 递函数相乘后的 Z 变换，即 ( ) ( ) 1 2 G z G G G z n 闭环系统的 z 传递函数，根据采样开关的位置不同有不同的形式。几种典型闭环离 散系统的方框图及其输出的 Z 变换参见表 7-1。 表 7-1 几种典型闭环离散系统的方框图及其输出的 Z 变换 序号 系 统 方 框 图 输出的 Z 变换 Y(z) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) GH z G z R z Y z 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G z H z G z R z Y z 3 1 ( ) ( ) ( ) GH z GR z Y z 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 G G H z G z G R z Y z
YE)=( R2) G1(=)G K 1()G2()R() l+G1(=)G2()H(=) () Y(二)= G2(=)G3(=)GR( 1+G2(=)G1G3H(=) 5.离散控制系统分析 离散控制系统的分析主要是稳定性、瞬态质量和稳态误差的分析。 (1)稳定性。对于离散系统,其稳定的条件是系统的极点均在z平面上以原点为圆 心的单位圆内。判定系统的极点是否在以原点为圆心的单位圆内可以对系统的传递函 数进行W变换或R变换,即 1+W W W变换 R 或 R= R变换 1+R 然后对变换后的W(或R)传递函数的特征方程,应用劳斯判据进行系统稳定性判别。 (2)瞬态质量。如果离散系统的数学模型已知,则通过Z变换,可以方便地求出 系统在典型信号作用下的瞬态响应,从而知道系统的瞬态质量。离散系统的瞬态响应决 定于系统z传递函数的零极点在z平面上的分布。图72和图7.3示意性地绘制出了系统 的极点位置与瞬态响应的对应关系。 图7.2不同实数根对应的时间响应
·4· 5 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 G z G H z G z G z R z Y z 6 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 G z G z H z G z G z R z Y z 7 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 3 1 G z G G H z G z G z G R z Y z 5. 离散控制系统分析 离散控制系统的分析主要是稳定性、瞬态质量和稳态误差的分析。 （1）稳定性。对于离散系统，其稳定的条件是系统的极点均在 z 平面上以原点为圆 心的单位圆内。判定系统的极点是否在以原点为圆心的单位圆内可以对系统的 z 传递函 数进行W 变换或 R 变换，即 或 变换 或 变换 R z z R R R z W z z W W W z 1 1 1 1 1 1 1 1 然后对变换后的W （或 R ）传递函数的特征方程，应用劳斯判据进行系统稳定性判别。 （2）瞬态质量。如果离散系统的数学模型已知，则通过 Z 变换，可以方便地求出 系统在典型信号作用下的瞬态响应，从而知道系统的瞬态质量。离散系统的瞬态响应决 定于系统 z 传递函数的零极点在 z 平面上的分布。图 7.2 和图 7.3 示意性地绘制出了系统 的极点位置与瞬态响应的对应关系。 图 7.2 不同实数根对应的时间响应
(1)P>1,极点在单位圆外正实轴上,时间响应是发散的:(2)P1=1,极点在正实轴的单位圆上,时间 应始终等于Ak:(3)0Pk>1,极点在单位圆内负实轴上,时间响应为衰减振荡过程,系正负 交替衰减振荡,振荡频率最高(周期为2T):(6)Pk=-1,极点在负实轴的单位圆上,响应的幅值为Ak的正负交 替等幅振荡:(7)P<-1,极点在单位圆外负实轴上,响应为正负交替发散振荡过程 (3)稳态误差。单位反馈系统的稳态误差为 R(=) e(oo)=lime(0)=lim(2-1)1+G(=) 由此可见,离散系统的稳态误差与输入信号和系统本身均有关系。和连续系统一样 对于不同参考输入,其稳态误差分别如下。 当单位阶跃输入时, e(∞)=lim(=-1) 1+G(=)2-1 1+linG(=) K 式中Kn=1+limG(z),称为位置误差系数。 图7.3不同实数根对应的时间响应 (1)|Pk卜1,极点在单位圆外正实轴上,时间响应序列是发散振荡的:(2)|Pk上=1,极点在正实轴的单位 圆上,时间响应序列为等幅振荡:(3)Pkk1,极点在单位圆内,时间响应是衰减振荡序列,振荡周期为nr 如P3的 的振荡周期为87,P4的O 的振荡周期为4T °5的=2z 的振荡周期为3T
·5· （1） 1 kp ，极点在单位圆外正实轴上，时间响应是发散的；（2） 1 kp ，极点在正实轴的单位圆上，时间 响应始终等于 k A ；（3） 0 1 kp ，极点在单位圆内正实轴上，时间响应为单调衰减过程；（4） 0 1 kp ，同 （3），更接近圆心，衰减过程更快；（5） 0 1 kp ，极点在单位圆内负实轴上，时间响应为衰减振荡过程，系正负 交替衰减振荡，振荡频率最高（周期为 2T）；（6） 1 kp ，极点在负实轴的单位圆上，响应的幅值为 k A 的正负交 替等幅振荡；（7） 1 kp ，极点在单位圆外负实轴上，响应为正负交替发散振荡过程。 （3）稳态误差。单位反馈系统的稳态误差为 1 ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim( 1) 1 * * G z R z e e t z l z 由此可见，离散系统的稳态误差与输入信号和系统本身均有关系。和连续系统一样， 对于不同参考输入，其稳态误差分别如下。 当单位阶跃输入时， p z z z G z K z G z e z 1 1 lim ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) lim( 1) 1 1 * 式中 1 lim ( ) 1 K G z z p ，称为位置误差系数。 图 7.3 不同实数根对应的时间响应 （1）| |1 kp ，极点在单位圆外正实轴上，时间响应序列是发散振荡的；（2）| | 1 kp ，极点在正实轴的单位 圆上，时间响应序列为等幅振荡；（3）| | 1 kp ，极点在单位圆内，时间响应是衰减振荡序列，振荡周期为 T k nT 2 ， 如 3 p 的 3 4 的振荡周期为 8T ， 4 p 的 4 2 的振荡周期为 4T ， 5 p 的 3 2 5 的振荡周期为 3T
当单位斜坡输入时, e()=lim(-1)1 =lr 1+G(=)(二-1) (二-1)G(z)K2 式中K,=lim(2-1)G(=),称为速度误差系数。 当单位抛物线输入时, e(∞)=lim(二-1) (二+1) lim 1+G(x)2(z-1)3(x-1)2G(x)K 式中K lim(二-1)G(=),称为加速度误差系数。 和连续系统类似,离散系统可按G(二)有几个z=1的极点来确定系统的类型 6.最小拍采样系统的综合 0(s) 图7.4采样控制系统综合 如图7.4所示,离散控制系统的综合,就是确定满足一定性能指标的数字校正装置 D(=)。最小拍采样系统是从瞬态过程快速性加以考虑的。综合的目的是使系统在一定输 入信号作用下,其瞬态过程能在有限个采样周期(拍)内结束。综合的任务是要确定采 样控制器D()的脉冲传递函数,保证闭环系统的传递函数为 Φ()=φ+q2-+…+nnn为有限值 如图74所示的系统,校正装置的传递函数为 D(=) 1d(=) G0(=)1-d() 式中G0()=1-e()对于无稳态误差的最少拍系统的综合,因d()不同 最少拍系统的性能也就不同。因此可以选择适当的Φ(=),使系统对某种输入信号的稳态 误差为零
·6· T G0(s) T 当单位斜坡输入时， K z G z T z Tz G z e z z z 1 ( 1) ( ) lim 1 ( ) ( 1) 1 ( ) lim( 1) 1 2 1 * 式中 lim( 1) ( ) 1 1 z G z T K z ，称为速度误差系数。 当单位抛物线输入时， a z z z G z K T z T z z G z e z 1 ( 1) ( ) lim 2( 1) ( 1) 1 ( ) 1 ( ) lim( 1) 2 2 1 3 2 1 * 式中 lim( 1) ( ) 1 2 1 2 z G z T K z a ，称为加速度误差系数。 和连续系统类似，离散系统可按G(z) 有几个 z 1的极点来确定系统的类型。 6. 最小拍采样系统的综合 图 7.4 采样控制系统综合 如图 7.4 所示，离散控制系统的综合，就是确定满足一定性能指标的数字校正装置 D(z)。最小拍采样系统是从瞬态过程快速性加以考虑的。综合的目的是使系统在一定输 入信号作用下，其瞬态过程能在有限个采样周期（拍）内结束。综合的任务是要确定采 样控制器 D(z)的脉冲传递函数，保证闭环系统的传递函数为 z z z n n n ( ) 1 0 1 为有限值 如图 7.4 所示的系统，校正装置的传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 0 z z G z D z 式中 ( ) 1 ( ) 0 G s s e G z z Ts 。对于无稳态误差的最少拍系统的综合，因(z)不同， 最少拍系统的性能也就不同。因此可以选择适当的(z)，使系统对某种输入信号的稳态 误差为零。 D(z) G(s) s e Ts 1
难点及求解方法 1.Z变换及反变换 在进行Z变换时必须注意输入部分和输出部分均可以按开关方式传输信号,否则会 引起错误,Z的反变换可用G(=)进行部分分式展示,然后再进行Z反变换 2.校正网络的设计 当采样周期T较小时,可以用连续域的方法先设计连续系统,然后再离散化。连续 域的设计方法可参见第六章 3.W变换时的处理 为了简化计算,在分析系统稳定性时,W变换应该按下面方法进行 若特征方程按 1+GH(二)=0 形式给出,则 1+GH(=)|1=0 即先代入后展开 若特征方程按 的多项式表达的形式给出,则 1+(=) 0 q1(2) q1()+q2(2)=(=) 用上述方法可以减少计算量。 、基本要求 (1)掌握采样定理及采样系统与连续系统的区别与联系 (2)Z变换及反变换、二域稳定性、稳态误差分析方法,系统的响应求法 (3)离散域及连续一离散化设计方法
·7· 二、难点及求解方法 1． Z 变换及反变换 在进行 Z 变换时必须注意输入部分和输出部分均可以按开关方式传输信号，否则会 引起错误， Z 的反变换可用 ( ) 1 G z z 进行部分分式展示，然后再进行 Z 反变换。 2. 校正网络的设计 当采样周期T 较小时，可以用连续域的方法先设计连续系统，然后再离散化。连续 域的设计方法可参见第六章。 3. W 变换时的处理 为了简化计算，在分析系统稳定性时，W 变换应该按下面方法进行。 若特征方程按 1 GH (z) 0 形式给出，则 1 ( ) | 0 1 1 W W z GH z 即先代入后展开。 若特征方程按 (z) 0 的多项式表达的形式给出，则 0 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 W W z z z ( ) ( ) ( ) 1 2 z z z 用上述方法可以减少计算量。 三、基本要求 （1）掌握采样定理及采样系统与连续系统的区别与联系； （2） Z 变换及反变换、 z 域稳定性、稳态误差分析方法，系统的响应求法； （3）离散域及连续—离散化设计方法
