第4章线性系统的根轨迹法 ◆重点与难点 一、基本概念 根轨迹 指当开环系统某一参数从零到无穷变化时,闭环特征根相应在s平面上变化的轨迹。 2.轨迹增益K与开环增益K之间的关系 (1)开环传递函数的两种标准形式: 尾1型 K(r1S+1)…(rmS+1) K:开环增益 G(SH(s) s°(T1s+1)…(Tns+1)v:系统类型 首1型 S(S-pI 式中=1= i=1,2,…,m,为开环零点 P =1,2…,n-U,为开环极点 (2)K与K的关系 (-P1) 3.根轨迹方程 1+G(S)H(S=0 ∏ (s-;) G(SH(S)=K.-=
·83· 第 4 章 线性系统的根轨迹法 重点与难点 一、基本概念 1. 根轨迹 指当开环系统某一参数从零到无穷变化时，闭环特征根相应在 s 平面上变化的轨迹。 2. 轨迹增益 K*与开环增益 K 之间的关系 （1）开环传递函数的两种标准形式： 尾 1 型： 系统类型 开环增益 : : ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 1 1 K s T s T s K s s G s H s nm 首 1 型： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 * nm s s p s p K s z s z G s H s 式中 , 1,2, , , 1 z i m i i 为开环零点； , 1,2, , , 1 j n T p j j 为开环极点； （2）K *与 K 的关系 * 1 1 ( ) ( ) K p z K n j j m i i 3. 根轨迹方程 1 G(s)H(s) 0 即 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * 1 n j j m i i s s p s z G s H s K
(1)模值条件 sP∏s-p (2)相角条件 ∠s-=1-90°+∑∠(-p1)=(2k+1)zk=0+1 4.闭环零点 由前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数极点所组成,不随K变化而变化。 5.绘制根轨迹的基本法则 6.关于0°根轨迹 (1)0°根轨迹是系统实质上处于正反馈状态下的根轨迹 (2)并不是非最小相角系统就要画0°根轨迹,也不是只要主反馈口符号形式上是 ”就画0°根轨迹,区别画0°或180°根轨迹在于根轨迹方程(标准形式),即 ∏ (s-;) G(SH(S)=K =±1 ∏(s-p,) 右端的符号:当为“一”时对应180°根轨迹:当为“+”时,对应0°根轨迹 (3)0°根轨迹绘制法则(见教材) 7.关于等效开环传递函数 (1)等效开环传递函数常用于绘制除K以外其他参数变化时的根轨迹 (2)等效开环传递函数对应的闭环特征式与原系统相同,所以有相同的闭环根,但 其对应的零点与原系统不同。当确定系统闭环零点时,必须由原系统开环传递函数确定。 8开环零点的二阶系统 若能在复平面画出根轨迹,则复平面根轨迹一定是圆或圆弧。 9.分离点位置 它常常对正确判断根轨迹的形态起重要作用。 10.关于根轨迹对称的一条定理 若开环零极点个数均为偶数,且左右对称分布于一条平行于虚轴的直线,则根轨迹 定关于该直线左右对称
·84· （1） 模值条件 * 1 1 | | | | | | K s z s s p m i i n j j （2）相角条件 m i n j i j s z s p k k 1 1 90 ( ) (2 1) 0, 1, 4. 闭环零点 由前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数极点所组成，不随 K *变化而变化。 5. 绘制根轨迹的基本法则 6. 关于 0°根轨迹 （1）0°根轨迹是系统实质上处于正反馈状态下的根轨迹。 （2）并不是非最小相角系统就要画 0°根轨迹，也不是只要主反馈口符号形式上是 “+”就画 0°根轨迹，区别画 0°或 180°根轨迹在于根轨迹方程（标准形式），即 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * 1 n j j m i i s s p s z G s H s K 右端的符号：当为“－”时,对应 180°根轨迹；当为“+”时，对应 0°根轨迹。 （3） 0°根轨迹绘制法则（见教材） 7. 关于等效开环传递函数 （1）等效开环传递函数常用于绘制除 * K 以外其他参数变化时的根轨迹； （2）等效开环传递函数对应的闭环特征式与原系统相同，所以有相同的闭环根，但 其对应的零点与原系统不同。当确定系统闭环零点时，必须由原系统开环传递函数确定。 8. 开环零点的二阶系统 若能在复平面画出根轨迹，则复平面根轨迹一定是圆或圆弧。 9. 分离点位置 它常常对正确判断根轨迹的形态起重要作用。 10. 关于根轨迹对称的一条定理 若开环零极点个数均为偶数，且左右对称分布于一条平行于虚轴的直线，则根轨迹 一定关于该直线左右对称
、基本要求 (1)正确理解根轨迹的概念 (2)掌握根轨迹的绘制法则,并能熟练绘制系统的根轨j (3)熟练应用等效开环传递函数概念,绘制非K参数根轨迹 (4)正确区分并绘制0°根轨迹 5)能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势 (6)掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法 、重点与难点 1.重点 (1)常规根轨迹的绘制 (2)增加开环零点、极点对根轨迹和系统性能的影响 (3)利用根轨迹分析系统性能的方法 2.难点 利用根轨迹分析系统性能
·85· 二、基本要求 （1）正确理解根轨迹的概念； （2）掌握根轨迹的绘制法则，并能熟练绘制系统的根轨迹； （3）熟练应用等效开环传递函数概念，绘制非 K *参数根轨迹； （4）正确区分并绘制 0°根轨迹； （5）能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势； （6）掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。 三、重点与难点 1. 重点 （1）常规根轨迹的绘制； （2）增加开环零点、极点对根轨迹和系统性能的影响； （3）利用根轨迹分析系统性能的方法。 2. 难点 利用根轨迹分析系统性能