西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（各章节例题解析）第九章 线性系统的状态空间分析与综合

第9章线性系统的状态空间分析与综合 例题解析 例9-1对于图9-1所示的质量一弹簧系统,当外力F(t)作用时,系统产生运动 质量及弹簧弹性系数见图示。如不计摩擦,试: (1)以质量m2的位移()为输出,外力F(1)为输入,列写系统的运动方程; (2)求从F(s)到y(s)的传递函数 (3)以框图表示上述系统 (4)自选一定数目的状态变量,建立上述系统的状态方程和输出方程。 y(t) F(t) ka 图9-1质量一弹簧系统 解:(1)设质量块m的位移为z,根据牛顿定律有 F(1)-k(2-y)=m12 同理对质量块m有 K,(E-y)-k2y=m2 y 联立式1)和2)消去中间变量z,得出系统微分方程 m,m,y+[(k,+k2)m,+k,m,l+k,k2y=kF( 2)对式3)进行拉氏变换可得 k F(s) m,S+[(K,+k2),k,m2 Is+kk2

·258· 第 9 章 线性系统的状态空间分析与综合 例题解析 例 9-1 对于图 9-1 所示的质量－弹簧系统，当外力 F（t）作用时，系统产生运动， 质量及弹簧弹性系数见图示。如不计摩擦，试： （1）以质量 m2的位移 y(t)为输出，外力 F(t)为输入，列写系统的运动方程； （2）求从 F(s)到 y(s)的传递函数； （3）以框图表示上述系统； （4）自选一定数目的状态变量，建立上述系统的状态方程和输出方程。 图 9-1 质量－弹簧系统 解：（1）设质量块 m1的位移为 z，根据牛顿定律有 F t k z y m z 1 1 ( )  (  )  1) 同理对质量块 m2有 k z y k y m y 1 2 2 (  )   2) 联立式 1）和 2）消去中间变量ｚ，得出系统微分方程： [( ) ] ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 (4) 1 2 m m y  k  k m  k m y  k k y  k F t 3) (2) 对式 3）进行拉氏变换可得 1 2 2 1 2 1 1 2 4 1 2 1 ( ) [( ) ] ( ) m m s k k m k m s k k k F s Y s      4) m1 m2 y(t) k1 F(t) k2

(3)对式(1)进行拉氏变换可得 2(s) 5) k,(s)+F()m,s-+k 同样处理式2)有 Y(S) Z(s) m2S"+k,+k 由式5),式6)可以画出系统结构图,如图9-2所示 k m,S-+k m22+k1+k2 图9-2系统结构图 (4)设状态变量 x x1=x=2 由式1) ,k, F( 由式2) k1+k2,k1 因此有 k k x+ m F(o k,+k 259·

·259· F y Z (3) 对式（1）进行拉氏变换可得 1 2 1` 1 1 ( ) ( ) ( ) k Y s F s m s k Z s    5) 同样处理式 2)有 1 2 2 2 1 ( ) ( ) m s k k k Z s Y s    6) 由式 5)，式 6)可以画出系统结构图，如图 9-2 所示。 图 9-2 系统结构图 （4）设状态变量 x  z x  x  z 1 1 2 x  y x  x  y 3 3 4 由式 1) x m k x z 1 1  2     1 1 3 1 1 ( ) m F t x m k   由式 2) 1 2 1 3 2 1 2 4 x m k x m k k x y        因此有 ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 x m F t m k k m k m k m k x                   y  0 0 1 0x 1 2 1 1 m s  k 1 2 2 2 1 m s k k k   k1

例9-2在图9-3所示系统中,若选取x1,x2,x作为状态变量,试列写其状态空间 达式,并写成矩阵形式 2 s+3 s(S+ 1) 图9-3 解:由结构图可得 2(x2-x3)=s(s+1)x V=x 整理可得系统状态空间方程表达式 y=x 写成矩阵的形式 2-30x+2 例9-3设系统微分方程为 y+7j+14j+8y=i+8i+15l 系统初始条件为零,试: (1)采用传递函数直接分解法,建立系统的状态空间表达式,并画出状态图 (2)采用传递函数并联分解法,建立系统的状态空间表达式,并画出状态图

·260· 例 9-2 在图 9-3 所示系统中，若选取 x1，x2 ，x3作为状态变量，试列写其状态空间 表达式，并写成矩阵形式. 图 9-3 解： 由结构图可得              1 3 1 2 3 1 1 2 2( ) ( 1) 2 ) ( 3) y x x sx x x s s x （u x s x 整理可得系统状态空间方程表达式             1 2 3 .3 1 2 .2 3 .1 2 3 2 3 2 y x x x x x x x u x x 写成矩阵的形式 x x u y 1 0 0x 0 2 0 0 2 3 2 3 0 0 0 1                    例 9-3 设系统微分方程为 y 7y 14y  8y  u 8u 15u 系统初始条件为零，试： （1）采用传递函数直接分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图； （2）采用传递函数并联分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图。 － － u x2 x3 x1 s 3 2 s  ( 1) 2 s s 

解:系统的传递函数为 ()=s+8s+15 7s2+14s+8U(s) Z(s) Y(s) (s)Z(s) 式中 Z(s) 7s2+l4s+8 s-+8s+15 由式3) z+72+142+8z=l 则有 元3=2=-8x1-14x2-7x3+l 由式4) 15x,+8x 010 0 581 8-14-7 (2)对式1)进行部分分式展开,有 831 6Y(s) 令 X2(s) U(s) 2U(s)s+4 则有文 故有 0-20 83

·261· 解：系统的传递函数为 ( ) ( ) 7 14 8 8 15 ( ) 3 2 2 U s Y s s s s s s G s        1) (1) 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z s Y s U s Z s G s   2) 式中 7 14 8 1 ( ) ( ) 3 2     U s s s s Z s 3) 8 15 ( ) ( ) 2  s  s  Z s Y s 4) 由式 3) z 7z14z  8z  u 令 x  z 1 x  x  z 1 2 x  x  z 2 3 则有 x 3  z  8x1 14x2  7x3  u 由式 4) 1 2 3 y  15x  8x  x 有 x x u                 1 0 0 8 14 7 0 0 1 0 1 0  y  15 8 1x (2) 对式 1)进行部分分式展开，有 ( ) ( ) 4 6 1 2 2 3 1 3 8 ( ) U s Y s s s s G s        令 1 1 ( ) ( ) 1   U s s X s 2 1 ( ) ( ) 2   U s s X s 4 1 ( ) ( ) 3   U s s X s 则有 x  x  u 1 1  x   x  u 2 2  2 x 3  4x3  u 1 2 3 6 1 2 3 3 8 y  x  x  x 故有 x x u                  1 1 1 0 0 4 0 2 0 1 0 0  y x          6 1 2 3 3 8

两种形式的状态空间表达式所对应的状态图分别如图9-4(a),(b)所示。 1 21s 图9-20系统状态模拟图 例9-4线性定常系统的齐次状态方程为

·262· u x3 x2 x1 y 两种形式的状态空间表达式所对应的状态图分别如图 9-4（a），（b）所示。 (a) (b) 图 9-20 系统状态模拟图 例 9-4 线性定常系统的齐次状态方程为                    2 1 2 1 2 3 0 1 x x x x   x3 x 2 u x1 y －7 s 1 s 1 s 1 1 8 － －8 s 1 －1 s 1 －2 s 1－ 3 8 2 3  6 1 

系统的初始状态为 x(0) x2(0) 求系统齐次状态方程的解x(t)。 解:先求系统的状态转移矩阵d(1)=e 解法一按矩阵指数定义 I+at+-A(-+ 01 2t+312--t3+…1-3t+-t2--t3 解法二用拉氏变换法 φ()=L-s1-A)- S S+ s+31 2 2 s de 1s+2s+1s+2 22 12 故得 d()=L[(sl-A)-] 解法三用凯莱一哈密顿定理 系统特征方程 deys-1=x2+3+2=(2+1)2+2)=0 +: 系统矩阵有A两个互异特征值入1=-,A2=-2 p(1)=e=a0(1)+a(1)

·263· 系统的初始状态为              0 1 (0) (0) (0) 2 1 x x x 求系统齐次状态方程的解 x(t)。 解：先求系统的状态转移矩阵 At (t)  e 。 解法一 按矩阵指数定义      2 2 2! 1 t e I At A t （ ） At  …=                      2 2 2 3 0 1 2 1 2 3 0 1 0 1 1 0 t t …=                       2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 2 7 1 3 3 7 2 3 6 7 2 3 1 t t t t t t t t t t t 解法二 用拉氏变换法 ) [( ) ] 1 1 （t  L sI  A                                         s s s s s s s s adj s s sI A 2 3 1 3 2 1 2 3 1 det 2 3 1 2 3 1 ( ) 2 1 1                     2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 s s s s s s s s 故得                         t t t t t t t t e e e e e e e e t L sI A 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) [( ) ] 解法三 用凯莱—哈密顿定理 系统特征方程 3 2 ( 1)( 2) 0 2 3 1 det[ ] 2                  I A 系统矩阵有 A 两个互异特征值1  1，2  2。 t e t I t A At ) ( ) ( ) （    0 1

(11x 2 10 01 故 e-e 系统齐次状态方程的解为 (1)=p()·x(0) 2e-1+ 例9-5设系统状态方程为x=Ax()已知当X()=,时,x(t)= 当x(0) 寸,x(t) 试求系统矩阵A及系统状态转移矩阵p() 解:先计算状态转移矩阵φ()。设 p(1) q1(1)q12(D (1)2(1) 齐次方程解为x(1)=d()x(0),依题意应有 卯1()12(m)T1 q1(1)-12(1) q1(1)q2(1)-1[o21()-2(m) q1()912()2 1()2()-1202()-q2() 解方程组得 q1(1) q12(D) (t (1) 故 p(1) 算系统矩阵A由状态转移矩阵性质得

·264·                                                   t t t t t t t t e e e e e e e e t t 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 1       故                      2 3 0 1 ( ) 0 1 1 0 ( ) (2 ) t 2t t 2t  t e e e e                    t t t t t t t t e e e e e e e e 2 2 2 2 2 2 2 2 系统齐次状态方程的解为                                         t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e x t t x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 ( ) ( ) (0) 例 9-5 设系统状态方程为 x  Ax(t) 已知当 X(0)=      1 1 时， x(t)=         t t e e 2 2 ； 当 x(0)=      1 2 时，x(t)=         t t e 2e ，试求系统矩阵 A 及系统状态转移矩阵(t)。 解：先计算状态转移矩阵(t)。设        ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 22 11 12 t t t t t      齐次方程解为 x(t)  (t)x(0) ，依题意应有                              ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 21 22 11 12 21 22 11 12 2 2 t t t t t t t t e e t t         1)                              2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 21 22 11 12 21 22 11 12 t t t t t t t t e e t t         2) 解方程组得 t t t t t t t t t e e t e e t e e t e e 2 22 2 21 2 12 2 11 ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2                       故                     t t t t t t t t e e e e e e e e t 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 计算系统矩阵 A,由状态转移矩阵性质得

02 意:根据1),2)可以列出下面的式子,用以求得p() =p() 故 p(1)= +2 例9-6设系统运动方程为 y+(a+b)y+aby=u+cu 式中a,b,c均为实数;u为系统的输入;y为输出。试: (1)求系统状态空间表达式 (2)画出系统相应的模拟结构图 (3)当输入函数u(1)=1()时,求系统状态方程的解。 解:(1)依题意可写出系统传递函数 Y(s) S+c s+c U(ss+(a+b)s+ab (s+a(s+b U(s) S+a U(s 5+b 则可得 x1=-ax1+ =-bx +u b b 故有 c-a c-b 0-b (2)依状态空间表达式,可画出系统模拟结构图(即状态图),如图9-5。 (3)系统状态转移矩阵

·265·                                1 3 0 2 2 2 2 2 ( ) | 0 ' 2 2 2 2 0 ' t t t t t t t t t t e e e e e e e e A  t 注意：根据 1)，2)可以列出下面的式子,用以求得(t)                    1 1 1 2 ( ) 2 2 2 t e e e e t t t t  故                                         t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e t 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 ( ) 例 9-6 设系统运动方程为 y  (a  b) y  aby  u  cu 式中 a，b，c 均为实数；u 为系统的输入；y 为输出。试： (1) 求系统状态空间表达式； (2) 画出系统相应的模拟结构图； (3) 当输入函数u(t)  1(t) 时，求系统状态方程的解。 解：（1）依题意可写出系统传递函数 a b s b c b b a s a c a s a s b s c s a b s ab s c U s Y s G s                     1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 令 U s s a X s   1 ( ) ( ) 1 U s s b X s   1 ( ) ( ) 2 则可得 x 1  ax1  u x 2  bx2  u 1 2 x a b c b x b a c a y       故有 X u b a x                 1 1 0 0  x a b c b b a c a y            （2）依状态空间表达式，可画出系统模拟结构图（即状态图），如图 9-5。 （3）系统状态转移矩阵

s+a p()=L[(s-A)-]=L 0 s+ b x(o=o(0)x(0)+Lo(t-r)Bu(r)dr 0 -a(t-T) 0 x1(0)e (0)e x0y*」 x2(0)e-b+1(1-e") X2 b 例9-7一系统的微分方程为y+2j+y=l+l (1)建立系统的动态方程; (2)用四种方法求系统的转移矩阵 解:(1)由微分方程可得到系统传函为 s+1 G(s) 用s2除以G(s)的分子和分母得 根据梅逊增益公式,可画出如下信号流图 UCs

·266·                                 bt at e e s b s a L s b s a t L sI A L 0 0 1 0 0 1 0 0 ( ) [( ) ] 1 1 1 1      t x t t x t Bu d 0 ( ) ( ) (0) (  ) ( )     d e e x x e e t b t a t bt at 1 1 1 0 0 (0) (0) 0 0 0 ( ) ( ) 2 1                                                                     t bt bt at at bt b at a bt at e b x e e a x e d e e x e x e 0 2 1 2 1 (1 ) 1 (0) (1 ) 1 (0) (0) (0)    图 9-5 例 9-7 一系统的微分方程为 y  2y  y  u  u （1）建立系统的动态方程； （2）用四种方法求系统的转移矩阵。 解：(1)由微分方程可得到系统传函为 2 2 ( 1) 1 2 1 1 ( )         s s s s s U Y G s 用 s 2除以 G(s)的分子和分母得 1 2 1 2 1 2 ( )         s s s s G s 根据梅逊增益公式，可画出如下信号流图 s 1 －a s 1 －b b a c a   a b c b   u x1 x2 y

图9-6 由图可知 x1=x2 x2=-x1 写成矩阵形式为 0 (2)求状态转移矩阵 ①首先用拉氏变换法求e L(s-A)-] (s1-∥|s-17 1s+2|s2+2s+1|-1s e4=L-(sl-A)2] te te ②用特征值、特征向量法求e 特征方程为 A2+2+1=0 特征根为 特征向量为 义特征向量为 非奇异变换矩阵 P 10

·267· 图 9-6 由图可知 1 2 2 1 2 1 2 2 y x x x x x u x x          写成矩阵形式为 , 1 1 1 0 , 1 2 0 1                A  B C （2）求状态转移矩阵 ① 首先用拉氏变换法求 e At [( ) ] 1 1 e  L sI  A At                                            t t t t t t At te e te e te te e L sI A s s s s s s sI A [( ) ] 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( ) 1 1 2 1 1 ② 用特征值、特征向量法求 e At 特征方程为 2 1 0 1 2 1 ( ) 2           f  特征根为 1 1,2   特征向量为      1 1 ，广义特征向量为       0 1 非奇异变换矩阵                                         t t t t t t At te e te e te te P e t e t te t e P P P 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 , 1 0 1 1   