第2章控制系统的数学基础与数学模型 重点与难点 、基本概念 1.拉氏变换与拉氏反变换 (1)定义:Lx(t)=X(s)=x(t)ett<0时t)=0 x(s)e ds (2)拉氏变换基本定理 见教材附录 (3)求拉氏变换与拉氏反变换的方法 ①查表法,利用附录直接求取。 ②部分分式法()-HS-P C可用待定系数法求得,亦可用留数法求得 ③留数法 无重根C1=1i6-P)X()]i=0,12…n 有重根Cr1=八4S X(s)(s+P1) j=0,1,2…r-1 求拉氏变换一般可用定义求解;或借助拉氏变换定理求解。 2.微分方程的建立 系统微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。建立系统或元件微分方程 的一般步骤如下: (1)根据实际工作情况,确定系统和各元件的输入量和输出量 (2)根据物理或化学定律,注意考虑负载效应,列出系统各组成元件的原始方程; (3)在可能条件下,对各元件的原始方程进行适当简化,略去一些次要因素或进行 线性处理
·8· 第 2 章 控制系统的数学基础与数学模型 重点与难点 一、基本概念 1. 拉氏变换与拉氏反变换 （1）定义： 0 L[x(t)] X (s) x(t)e dt t 0时 t(t) 0 st c J c j st x s e ds j L x s x t ( ) 2 1 [ ( )] ( ) 1 （2）拉氏变换基本定理 见教材附录 （3）求拉氏变换与拉氏反变换的方法 ① 查表法，利用附录直接求取。 ② 部分分式法 n i i i s S P C X 1 ( ) Ci可用待定系数法求得，亦可用留数法求得 ③ 留数法 无重根 i 0,1,2n C lim[(S P )X (s)] i s P i i 有重根 ( )( ) j 0,1,2 1 d ! 1 1 S -P 1 j X s s P r j dS C r j r j 求拉氏变换一般可用定义求解；或借助拉氏变换定理求解。 2. 微分方程的建立 系统微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。建立系统或元件微分方程 的一般步骤如下： （1）根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量； （2）根据物理或化学定律，注意考虑负载效应，列出系统各组成元件的原始方程； （3）在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行 线性处理；
(4)从系统输入端开始,依照信号的传递顺序,在所有元件的方程中消去中间变量, 最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程: (5)对求出的系统微分方程进行标准化处理。即将与输出有关的各项放在等号左侧, 而将与输入有关的各项置于等号右侧;等号左、右侧各项均按幂形式排列,并将各项系 数归化为具有一定物理意义的形式 3.传递函数 (1)传递函数定义:传递函数是在零初始条件下,系统输出的拉氏变换与输入的拉 氏变换之比。零初始条件是指当1<0时,系统输入r()、输出c(1)以及它们的各阶导数 均为零。 (2)传递函数性质:①传递函数是复变量s的有理分式函数;②传递函数只与系统 自身的结构参数有关,与系统输入、输出的形式无关;③传递函数与系统微分方程相联 系,两者可以相互转换;④传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换;⑤传递函数与s平 面上一定的零极点图相对应。 (3)传递函数的局限性:传递函数只适用于描述线性定常单输入、单输出系统,只 直接反映系统的零状态下的动态特性。 4.结构图(图2.1 (1)环节:环节是具有相同形式传 递函数的元部件的集合 H(s)E(S) 典型环节:比例环节,微分环节, 积分环节,惯性环节,振荡环节,一阶 复合微分环节,二阶复合微分环节。 (2)组成:信号线,环节方框,引 出点,比较点 (3)特点:①结构图具有概括性的抽象性,不表示某具体系统的物理结构;②用结 构图可以较直观地研究系统特性,分析各环节对系统性能的影响;③同一系统的结构图 形式不唯一,但其在输入、输出信号确定后,对应的系统传递函数是唯一的。 4)结构图等效变换规则:环节串联,环节并联,反馈,引出点、(分支点)比较 点(相加点)的移动 5.信号流图 (1)有关术语:源节点,阱节点,混合节点,前向通路,回路,不接触回路。 (2)信号流图与结构图本质上一样,只是形式上不同。 6.梅逊公式
·9· （4）从系统输入端开始，依照信号的传递顺序，在所有元件的方程中消去中间变量， 最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程； （5）对求出的系统微分方程进行标准化处理。即将与输出有关的各项放在等号左侧， 而将与输入有关的各项置于等号右侧；等号左、右侧各项均按幂形式排列，并将各项系 数归化为具有一定物理意义的形式。 3. 传递函数 （1）传递函数定义：传递函数是在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与输入的拉 氏变换之比。零初始条件是指当t 0 时，系统输入 r(t) 、输出c(t)以及它们的各阶导数 均为零。 （2）传递函数性质：①传递函数是复变量 s 的有理分式函数；②传递函数只与系统 自身的结构参数有关，与系统输入、输出的形式无关；③传递函数与系统微分方程相联 系，两者可以相互转换；④传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换；⑤传递函数与 s 平 面上一定的零极点图相对应。 （3）传递函数的局限性：传递函数只适用于描述线性定常单输入、单输出系统，只 直接反映系统的零状态下的动态特性。 4. 结构图（图 2.1） （1）环节：环节是具有相同形式传 递函数的元部件的集合。 典型环节：比例环节，微分环节， 积分环节，惯性环节，振荡环节，一阶 复合微分环节，二阶复合微分环节。 （2）组成：信号线，环节方框，引 出点，比较点； （3）特点：①结构图具有概括性的抽象性，不表示某具体系统的物理结构；②用结 构图可以较直观地研究系统特性，分析各环节对系统性能的影响；③同一系统的结构图 形式不唯一，但其在输入、输出信号确定后，对应的系统传递函数是唯一的。 （4）结构图等效变换规则：环节串联，环节并联，反馈，引出点、（分支点）比较 点（相加点）的移动。 5. 信号流图 （1）有关术语：源节点，阱节点，混合节点，前向通路，回路，不接触回路。 （2）信号流图与结构图本质上一样，只是形式上不同。 6. 梅逊公式 G1(s) G2(s) H(s) H C(s) (s) E(s) N(s) 图 2.1
P P△k 式中P一从源节点到阱节点的传递函数(或总增益) n一从源节点到阱节点的前向通路总数 P4一从源节点到阱节点的第k条前向通路总增益 △=1-∑L2+∑LL+∑L2LL+…一流图特征式。其中,∑L为所有单 独回路增益总和,∑LL为在所有互不接触的单独回路中,每次取其中两个回路的回 路增益的乘积之和,∑LL2L为在所有互不接触的单独回路中,每次取其中三个回路 回路增益的乘积之和 Δ一流图余因子式,它等于流图特征式中除去与第k条前向通路相接触的回路增益 项(包括回路增益的乘积项)以后的余项式。 、基本要求 (1)掌握拉氏变换与拉氏反变换的定义与求取; (2)了解建立系统微分方程的一般方法 (3)掌握运用拉氏变换解微分方程的方法; (4)牢固掌握传递函数的概念、定义和性质 明确传递函数与微分方程之间的关系; 能熟练地进行结构图等效变换 (7)明确结构图与信号流图之间的关系; (8)能熟练运用梅逊公式求系统传递函数 (9)掌握从不同途径求传递函数的方法: 工作原理图 方框图 信号流图 系统微分方程组 传递函数Φ(s) 系统微分方程 系统响应解析表达式 、重点与难点 重点 建立微分方程的方法:运用拉氏变换解微分方程的方法;传递函数的概念和性质 传递函数和微分方程之间的关系;结构图的绘制和等效变换;结构图和信号流图的关系;
·10· n k P Pk k 1 1 式中 P —从源节点到阱节点的传递函数（或总增益）； n —从源节点到阱节点的前向通路总数； k p —从源节点到阱节点的第 k 条前向通路总增益； 1La LbLc LbLcLf —流图特征式。其中， La 为所有单 独回路增益总和， LbLc 为在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路的回 路增益的乘积之和， Ld LeLf 为在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路 的回路增益的乘积之和； k —流图余因子式，它等于流图特征式中除去与第 k 条前向通路相接触的回路增益 项（包括回路增益的乘积项）以后的余项式。 二、基本要求 （1）掌握拉氏变换与拉氏反变换的定义与求取； （2）了解建立系统微分方程的一般方法； （3）掌握运用拉氏变换解微分方程的方法； （4）牢固掌握传递函数的概念、定义和性质； （5）明确传递函数与微分方程之间的关系； （6）能熟练地进行结构图等效变换； （7）明确结构图与信号流图之间的关系； （8）能熟练运用梅逊公式求系统传递函数； （9）掌握从不同途径求传递函数的方法： 三、重点与难点 1. 重点 建立微分方程的方法；运用拉氏变换解微分方程的方法；传递函数的概念和性质； 传递函数和微分方程之间的关系；结构图的绘制和等效变换；结构图和信号流图的关系； 工作原理图 方框图 信号流图 系统微分方程组 系统微分方程 传递函数Ф(s) 系统响应解析表达式
梅逊公式 2.难点 (1)运用综合的基础知识(如电子、机械、物理等知识)建立正确的微分方程; (2)建立系统的结构图或信号流图 (3)结构图和信号流图等效变换的灵活运用:梅逊公式的应用
·11· 梅逊公式。 2. 难点 （1）运用综合的基础知识(如电子、机械、物理等知识)建立正确的微分方程； （2）建立系统的结构图或信号流图； （3）结构图和信号流图等效变换的灵活运用；梅逊公式的应用