深圳大学机电与控制工程学院：《自动控制原理》课程资源（PPT课件讲稿）第四章 线性系统的根轨迹

自动控制原理 深圳大学机电与控制工程学院 自动控制原理课程组

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第4章线性系统的視轨迹 主要内容 控制系统的根轨迹 根轨迹的绘制法则 其他形式的根轨迹 根轨迹分析 第23、24节始

第4章 线性系统的根轨迹 主要内容 控制系统的根轨迹 根轨迹的绘制法则 其他形式的根轨迹 根轨迹分析 第23、24节始

4.1控制系統的根軌迹 41.1根轨迹的基本概念 R(S k1/s(s+2) C 根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时,闭环系统特 征方程式的根在s平面上的变化轨迹。 例如,某系统开环传递函数()=、h (S+2) 闭环环传递函数 k d(s)= +2s+k

s s k k s + +  = 2 ( ) 2 4.1 控制系统的根轨迹 R(s) C(s) k 1/s(s+2) ( 2) ( ) + = s s k G s 闭环环传递函数 例如，某系统开环传递函数 根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特 征方程式的根在s平面上的变化轨迹。 4.1.1 根轨迹的基本概念

4.1.1根轨迹的基本概念 闭环特征方程s2+2s+k=0, 2±√4-4k 闭环极点 1±√1-k 极点性质 k≤1,S,2 l士 k k>12s12=-1±j√k-1

2 0, 2 s + s + k = 极点性质 k k s = −  − −  − = 1 1 2 2 4 4 闭环极点 1,2 闭环特征方程 1, 1 1 1, 1 1 1,2 1,2  = −  −  = −  − k s j k k s k 4.1.1 根轨迹的基本概念

4.1.1根轨迹的基本概念 k0.10812 将特征根画在s平面上 1-0.005-0.4-1-1j1.73-1+j3.87 1.995-1.6-1-1-j1.73-1-387 k=2 将特征根随增益的变化在s平 k=0.1k=1k=0 面上轨迹称为根轨迹

k 0.1 0.8 1 2 4 s1 -0.005 -0.4 -1 -1+j1.73 -1+j3.87 s2 -1.995 -1.6 -1 -1-j1.73 -1-j3.87 将特征根画在s平面上 将特征根随增益的变化在s平 面上轨迹称为根轨迹 -2 -1 0 -2j j -j -2j k=0.1 k=1 k=0.1 k=2 4.1.1 根轨迹的基本概念

4.1.1根轨迹的基本概念 根轨迹的作用 k=0.8 k=4 k=0.1k=1k=0.1

根轨迹的作用 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Step Response Time (sec) Amplitude k=0.8 k=2 k=4 -2 -1 0 -2j j -j -2j k=0.1 k=1 k=0.1 k=2 4.1.1 根轨迹的基本概念

4.1.2闭环粵极点与开环粵极点的关淾 G(S) R d(S)= S) 1+G(s)H(S) H(S) K(s-=) Kn∏I( G(s=n= H(S)= (S-P1) y-2 (S-) G(S)H(s=K-k= IIs-PII(s-P,) =1

G(s) H(s) R(s) C(s) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) G s s G s H s  = + 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m G i i n j j K s z G s s p = = − = −   2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) m H k k n l l K s z H s s p = = − = −   1 2 1 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m i k i k g n n j l j l s z s z G s H s K s p s p = = = = − − = − −     4.1.2 闭环零极点与开环零极点的关系

4.1.2闭环粵极点与开环粵极点的关淾 I(s-=) ∏I(s-p,) op(s) KI(-=)(-=) 1+ ∏I(s-p) s-p KI(s-=)(-p) d(S)= i=1 l=1 II(s-p)+K4I(-=)

1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) m G i i n j j m m g i k i k n n j l j l K s z s p s K s z s z s p s p = = = = = = − −  = − − + − −       1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n G i l i l n m i g j i j K s z s p s s p K s z = = = = − −  = − + −     4.1.2 闭环零极点与开环零极点的关系

4.1.2闭环粵极点与开环零极点的关淾 (1)系统的闭环零点由前向通道G(s)的零点和反馈通道H(s 的极点两部分组成。单位反馈系统的闭环零点就是其开环零 点。 (2)系统的闭环根轨迹增益等于其前向通道的根轨迹增益。 对于单位反馈系统,系统的闭环根轨迹增益等于其开环根轨 迹增益。 (3)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益有关

（1）系统的闭环零点由前向通道G(s)的零点和反馈通道H(s) 的极点两部分组成。单位反馈系统的闭环零点就是其开环零 点。 （2）系统的闭环根轨迹增益等于其前向通道的根轨迹增益。 对于单位反馈系统，系统的闭环根轨迹增益等于其开环根轨 迹增益。 （3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益有关。 4.1.2 闭环零极点与开环零极点的关系

4.1.3根轨迹方程 由特征方程 根轨迹方程 D(S)=1+G(s)H(s)=0 G(s)H(S)=-1 y-2 y-2 G(SH(S I(s-Pi) ∏(-B)

4.1.3 根轨迹方程 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m g i i n j j K s z G s H s s p = = − = −   1 1 ( ) 1 ( ) m g i i n j j K s z s p = = − = − −   由特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 根轨迹方程 G(s)H(s)= -1