自控习题及解答 第二章 2-2若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时,零初始条件下的输出响应c(t)=1-e2+e,试求系统的传 递函数和脉冲响应。 【解】根据传递函数的定义,其传递函数为零初始条件下,输出信号的拉氏变换与输入信号 拉氏变换之比,即 G(s)=C(s)_1 R(s)ss+2s+1s(s+1)(s+2) 23设系统传递函数为 G(s) 初始条件c(0)=-1,dc(0)/dt=0。求单位阶跃输入nt)=1(t时,系统的输出响应c(t 【解】系统传递函数与微分方程是一一对应的,故通过传递函数先求出微分方程,然后通过 拉氏变换的方法求解微分方程。 系统对应的微分方程为 +4c(1)+3c(1)=2r() 在给定的非零初始条件下,进行拉氏变换 (s2+4s+3)C(s)-sc(0)-c(0)-4c(0)= 整理后 +3)(s2+4 部分分式展开后,拉氏反变换 s+4 ]=L[ 2/35/25/6 c()=L[C(3s)=E[ (s2+4s+3)(s2+4s+3) 25-5 6 24在图2-48中,已知Gs)和H(s两方框对应的微分方程分别为 C(s) ( (1)+2c(t)=5e(1) 4b(1)+3b(1)=6c(1) 图2-48习题2-4系统结构框图 且初始条件为零,试求传递函数C(sR(s)。 【解】求出每个方框的传递函数,利用反馈等效的方法求C(s)/R(s) 根据定义可得
自控习题及解答 第二章 2-2 若某系统在阶跃输入 r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出响应 c(t)=1-e -2t+e-t，试求系统的传 递函数和脉冲响应。 【解】根据传递函数的定义，其传递函数为零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号 拉氏变换之比，即 ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) / ( ) 2 1 C s G s R s s s s s = = − + + + 2 4 2 ( 1)( 2) s s s s + + = + + 2-3 设系统传递函数为 4 3 2 ( ) 2 + + = s s G s 初始条件 c(0) = −1,dc(0)/ dt = 0 。求单位阶跃输入 r(t)=1(t)时，系统的输出响应 c(t)。 【解】系统传递函数与微分方程是一一对应的，故通过传递函数先求出微分方程，然后通过 拉氏变换的方法求解微分方程。 系统对应的微分方程为 c c t c t r t ++= 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 在给定的非零初始条件下，进行拉氏变换 2 2 ( 4 3) ( ) (0) (0) 4 (0) s s C s sc c c s + + − − − = 整理后 2 2 2 1 ( ) ( 4 3) ( 4 3) s C s s s s s s + = − + + + + 部分分式展开后，拉氏反变换 1 1 1 2 2 3 2 4 2 / 3 5/ 2 5/ 6 ( ) [ ( )] [ ] [ ] ( 4 3) ( 4 3) 1 3 2 5 5 3 2 6 t t s c t L C s L L s s s s s s s s e e − − − − − + = = − = − + + + + + + + = − + 2-4 在图 2-48 中，已知 G(s) 和 H(s)两方框对应的微分方程分别为 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 6 ( ) c t c t e t b t b t c t + = + = 图 2-48 习题 2-4 系统结构框图 且初始条件为零，试求传递函数 C(s)/R(s)。 【解】求出每个方框的传递函数，利用反馈等效的方法求 C(s)/R(s)。 根据定义可得 H(s) G(s) R(s) E(s) C(s) B(s) 5
G(s)=5 C(s) 5G(s) (s+2) 25(4s+3) 100s+75 R(s)1+G(s)H(s)、x(s+2)(4s+3) 6(s+2)4s+3)+304s2+1ls+-36 2·5图2-49是由电阻、电容和运算法放大器组成的无源网络和有源网络,试列写以Vit) 为输入量,Vou(t)为输出量的传递函数 R C? R 图2-49习题25电路图 【解】(a)Z1 R RCs+1 Z2 G(s)=2 RCs+I R R(C1+C2) RC,s+1 Cas (b)21=Rz2=R2=nB RCs+1 R, G(s)=-2=kCs+=-R 21R R RCs
5 ( ) 2 G s s = + ， 6 ( ) 4 3 H s s = + 2 5 5 ( ) 5 ( ) 25(4 3) 100 75 ( 2) ( ) 1 ( ) ( ) ( 2)(4 3) 30 4 11 36 5 6 1 ( 2) (4 3) C s G s s s s R s G s H s s s s s s s + + + = = = = + + + + + + + + + 2-5 图 2-49 是由电阻、电容和运算法放大器组成的无源网络和有源网络，试列写以 Vin(t) 为输入量，Vout(t)为输出量的传递函数。 (a) （b） (c) (d) 图 2-49 习题 2-5 电路图 【解】(a) 1 2 1 1 2 1 1 , 1 R Z R Z C s RC s C s = = = + 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 Z C s RC s G s Z Z R C C s R RC s C s + = = = + + + + + （b） 2 1 1 2 2 2 1 1 R Z R Z R Cs R Cs = = = + 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 ( ) 1 R Z R Cs R G s Z R R R Cs + = − = = − + C R1 R2 Vin Vout R3 1 C R R2 Vin Vout C R1 R2 Vin Vout R3 Vin Vou C1 C2 R
R3(R2+) (c)Z1=R1Z2=R3‖(R2+x)= R3(R2Cs+1) R3+R2+ (R3+R2)C R(R,CS+1) G(8)=-2=A+ACs+1=-A,RC+1 R R1(R3+R2 (d)本题和b)、(c)做法图通,因为反馈通路有接地的部分。根据理想运放的假定,负端输入 为虚地和虚开。设R2和R3中间节点的电压为V,则有 v p R R R2 由此,得 y v-y0-v 1/C R2 R3 R3 在两式中消去V,可得到Vin与Vot的关系式 (R2+R,+r,RCs) 26设弹簧特性由下式描述 F=1265y 其中,F是弹簧力,y是变性位移。若弹簧在变性位移0.25附近做微小变化,试推导△F的 线性化方程。 y-Vo Fo 【解】 dF △y,△F=1265×1.1×(0.25)△y=12.11△y 2-7试简化图2-50中的系统结构图,并求传递函数C(sR(s)和Cs)Ns) 如9回 C(s) G2(s) 图2-50习题2-7结构图 【解】(1)求Cs)R(s),由于N(s)=0,所以很简单 C(s) G2(s) H,(s) (s)
(c) 3 2 3 2 1 1 2 3 2 3 2 3 2 1 ( ) 1 ( 1) ( ) 1 ( ) 1 R R Cs R R Cs Z R Z R R Cs R R Cs R R Cs + + = = + = = + + + + 3 2 2 2 3 2 3 1 1 1 3 2 ( 1) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 R R Cs Z R Cs R R Cs R G s Z R R R R Cs + + + + = − = − = − + + (d) 本题和(b)、(c)做法图通，因为反馈通路有接地的部分。根据理想运放的假定，负端输入 为虚地和虚开。设 R2 和 R3 中间节点的电压为 V，则有 1 2 2 3 0 1/ in out V V R R V V V V R R Cs = − − − = + 由此，得 2 1 2 3 3 1 1 ( ) in out R V V R V V Cs R R R = − + + = 在两式中消去 V，可得到 Vin 与 Vout 的关系式 2 3 2 3 1 1 ( ) out in V R R R R Cs V R = − + + 2-6 设弹簧特性由下式描述 1.1 F =12.65y 其中，F 是弹簧力，y 是变性位移。若弹簧在变性位移 0.25 附近做微小变化，试推导△F 的 线性化方程。 【解】 0 0 0 1.1 , , 12.65 1.1 (0.25) 12.11 y y y y y F F F dF F y F y y dy = = − = − = = = 2-7 试简化图 2-50 中的系统结构图，并求传递函数 C(s)/R(s)和 C(s)/N(s)。 图 2-50 习题 2-7 结构图 【解】 （1）求 C(s)/R(s)， 由于 N(s)=0，所以很简单 ( ) 1 H s R(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 H s ( ) 2 G s ( ) 1 H s ( ) 3 G s R(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 H s N(s) ( ) 2 G s
R(S)1+GG,H,+G,H, (2)求C(S)N(s),等效反馈内回路和相关串联通路,有下列图化简 C(s) G2(s)H2(s) G1(s)H1(s) 移动相加点后, G2(s)G,(s)L N(s) G2(s)H2(s) (s)H1(sG2( +G2(s)H2( C(s 1+G,G2+G2G3 N(s)1+G,,+G2H 2-8已知系统结构图如图2-51所示,试通过结构图等效变换求系统的传递函数C(s)R(s) R(s) (s) H(s) G2(s) H(s)h
1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 1 C s G G R s G G H G H = + + (2) 求 C(s)/N(s)，等效反馈内回路和相关串联通路，有下列图化简 移动相加点后， 1 2 2 3 1 2 1 2 2 ( ) 1 ( ) 1 C s G G G G N s G G H G H + + = + + 2-8 已知系统结构图如图 2- 51 所示，试通过结构图等效变换求系统的传递函数 C(s)/R(s)。 (c) (d) C(s) N(s) 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) G s H s G s + G s H s 2 3 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) G s G s + G s H s 1 1 G s H s ( ) ( ) ( ) 3 G s C(s) N(s) 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) G s + G s H s ( ) 2 G s H(s) R(s) C(s) ( ) 1 G s G(s) H(s) R(s) C(s) B(s) 10
R(s) H(s) R(s) G2(s) R(s) -G(s)}∞-(5)} H2(s) H1(s) 图251习题28结构图 (a) C(s) G1+G2 C(s) G,G2+G R(s)1+(G1+G2)(G3-G4 R(s)1+G2(H1-H2) s) (s) R(s) 1G2(s) H(s)
(e) (f) (g) 图 2-51 习题 2-8 结构图 【解】 (a) 1 2 1 2 3 4 ( ) ( ) 1 ( )( ) C s G G R s G G G G + = + + − , (b) 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) C s G G G R s G H H + = + − ( ) 2 G s H(s) R(s) C(s) ( ) 1 G s G(s) H(s) R(s) C(s) B(s) 10 ( ) 3 G s ( ) 1 H s R(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 H s ( ) 2 G s ( ) 2 H s ( ) 3 G s ( ) 1 H s R(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 G s ( ) 3 G s H(s) R(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 G s
R(s) 104 C(s) B(s H(sI C(s)10(1-GH) R(S) 1+H-GH C(s) R(s) G(s) C(s) G,(SF G2() &G, (s) H(SG (s R(s) C(s) (S H(S)G2(s) (s)G1 R(S)1+G,H C(s) G,(s) G1(s) H(S) (S) G,G3+G,G3 R(S 1+GGa+GaH 29图2-52介绍了一种非常灵活的电路结构,它的传递函数可以化为两个二阶或一个四阶 系统。通过选择Ra,RbR,R的不同值,电路可以实现低通、高通或带阻滤波器功能。 (a)证明如果R=R,Rb=R=R=∞,则从V,到Vout的传递函数可以写成以下的低通滤波 器的形式 R R 其中,A R R2
© ( ) 10(1 ) ( ) 1 C s GH R s H GH − = + − , (d) 1 2 2 ( ) ( ) 1 C s G G R s G H − = + (e) 1 3 2 3 1 3 3 ( ) ( ) 1 C s G G G G R s G G G H + = + + 2-9 图 2-52 介绍了一种非常灵活的电路结构，它的传递函数可以化为两个二阶或一个四阶 系统。通过选择 Ra, Rb, Rc, Rd 的不同值，电路可以实现低通、高通或带阻滤波器功能。 （a） 证明如果 Ra=R，Rb=Rc=Rd=∞,则从 Vin, 到 Vout 的传递函数可以写成以下的低通滤波 器的形式 2 1 2 2 + + = T s Ts A V V in out 其中， 1 2 2 , , R R T RC R R A out = = = ( ) 2 G s 2 H s G s ( ) ( ) R(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 G s 2 H s G s ( ) ( ) R(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 G s H(s) R(s) C(s) ( ) 1 G s G(s) H(s) R(s) C(s) B(s) 10 ( ) 3 G s H(s) R(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 G s
(b)若Ra=R,R=R1,Rb=R=∞,求出电路描述的传递函数。 图252习题29电路图 2-10画出图2-53中各系统结构图对应的信号流图,并用梅逊增益公式求各系统的传递 函数C(s)R(s)和Cs)Ns) 【解】(a)信号流图如下 G C(S)G,G3+G2,G3+G,G4+G,G4 R(S) G,+G2G3 (b)信号流图如下
(b) 若 Ra=R，Rd=R1，Rb=Rc=∞，求出电路描述的传递函数 in out V V 。 图 2-52 习题 2-9 电路图 2-10 画出图 2-53 中各系统结构图对应的信号流图，并用梅逊增益公式求各系统的传递 函数 C(s)/R(s)和 C(s)/N(s)。 【解】(a) 信号流图如下 1 3 2 3 1 4 2 4 1 3 2 3 ( ) ( ) 1 C s G G G G G G G G R s G G G G + + + = + + ( ) 1 ( ) C s N s = (b) 信号流图如下 G1 1 G2 1 R 1 C N G3 G4 −1 1 u (t) o 1 C R R2 Rb Rc C R R Vin Rd R R Vout Ra R
G E P1=-GG2,P2=-1,P3=G2G4,p4=-GG2GG4,△2=1 L=-GG, L,=GG2GG4, L=1, L4=-G3G4 C(S) GG2-1+G3G4-G,G,G,G R(S) G,G2+GG2G G4+G,G4 (c)信号流图如下 求C(s)/R(s) L=-GGH, L=-G,Gs, L=GG A=1-L-L-L+LL P,=GG2 C(s) GG(1-G,Gs) R(S)1+GG,H+G2Gs-GGs-GG2HG4Gs L=-GG2H, L=-G2G5, L=GGs △1=1-GG3,A2=1-GG3 C(s) G2+G3)(1-G4G5) N()1+GG,H+G2Gs-GG5-GGHGG
1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 1 2 2 1 2 3 4 3 4 3 4 , 1, , , 1 , , 1, i p G G p p G G p G G G G L G G L G G G G L L G G = − = − = = − = = − = = = − 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 3 4 ( ) 1 ( ) C s G G G G G G G G R s G G G G G G G G − + − = + + (c) 信号流图如下 ` 求 C(s)/R(s) 1 1 2 2 2 5 3 4 5 1 1 2 L G G H L G G L G G , , p G G = − = − = = , 1 2 3 1 3 1 4 5 1 1 L L L L L G G = − − − + = − 1 2 4 5 1 2 2 5 4 5 1 2 4 5 ( ) (1 ) ( ) 1 C s G G G G R s G G H G G G G G G HG G − = + + − − 求 C(s)/N(s) 1 1 2 2 2 5 3 4 5 1 3 2 2 1 4 5 2 4 5 , , , , 1 , 1 L G G H L G G L G G p G p G G G G G = − = − = = = = − = − 2 3 4 5 1 2 2 5 4 5 1 2 4 5 ( ) ( )(1 ) ( ) 1 C s G G G G N s G G H G G G G G G HG G + − = + + − − G1 1 G2 1 R 1 C N G3 G4 −H −1 G5 1 GG3 4 1 R C 1 E −1 GG1 2 −1 1 1 −1 −1
2-1l试用梅逊增益公式求图2-54中各系统信号流图的的传递函数C(sR(s) 【解】(a)四条回路,3,4不接触,两条前向通路,第二余项1+G CO GG2G3G4+G3(1+G3) R()1+GG2GG4H2+G,G2G3H,+G3+GsH2G,GsH, (b)三条回路,两条回路不接触,两条前向通路,两个余项匀不为1 C(s)GG2GG4(1-)+1×(-GG3f+G R(s)1-GG2f2+G3f3-f+G2G3f12-G3ffs C(s) abcd +f(l-ch)+agd R(s) ge-ch+aech
2-11 试用梅逊增益公式求图 2-54 中各系统信号流图的的传递函数 C(s)/R(s)。 【解】 (a) 四条回路，3,4 不接触，两条前向通路，第二余项 1+G3 1 2 3 4 5 3 1 2 3 4 2 1 2 3 1 3 5 2 3 5 2 ( ) (1 ) ( ) 1 C s G G G G G G R s G G G G H G G G H G G H G G H + + = + + + + + (b) 三条回路，两条回路不接触，两条前向通路，两个余项匀不为 1 1 2 3 4 1 2 3 2 3 3 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 3 ( ) (1 ) 1 (1 ) ( ) 1 C s G G G G f G G f G f R s G G f G f f G G f f G f f − + − + = − + − + − © ( ) (1 ) ( ) 1 C s abcd f ch agd R s ae ch aech + − + = − − + a b c d e R(s) C(s) 1 g 1 f h G1 G2 G3 G4 3 − f R(s) C(s) 1 1 f 2 f 1 G4 G1 G2 G3 − H1 R(s) C(s) 1 −1 G5 − H2 1
