自控习题及解答 第四章 4-3绘制下列开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹 K (1)GH s(s+2s2+2s+2) 【解】开环的零极点B1=0,P2=-2,P34=-1±j ±45° 渐近线n=m=4,G=-1,q ±1359 由于该系统的开环极点分布完全对称于-2.所以根轨迹是直线。可以用相角条件验证,复平 面直线上的点是根轨迹。该根轨迹是一个特例。 K(S+2) (2)GH= s(s+3)(s2+2s+2 【解】开环的零极点1=-2,P1=0,P2=-3,P34=-1±j 60° 渐近线n-m=3=-1,n=180° 60° 出射角a2=-266°,实轴上无分离点,根据基本规则,可画出根轨迹如下
自控习题及解答 第四章 4-3 绘制下列开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹 （1） 2 ( 2)( 2 2) K g GH s s s s = + + + 【解】 开环的零极点 1 2 3,4 p p p j = = − = − 0, 2, 1 渐近线 0 0 45 4, 1, 135 n m = = = − = 由于该系统的开环极点分布完全对称于-2. 所以根轨迹是直线。可以用相角条件验证，复平 面直线上的点是根轨迹。该根轨迹是一个特例。 （2） 2 ( 2) ( 3)( 2 2) K s g GH s s s s + = + + + 【解】 开环的零极点 1 1 2 3,4 z p p p j = − = = − = − 2, 0, 3, 1 渐近线 0 0 0 60 3, 1, 180 60 n m − = = − = − 出射角 0 2 = −26.6 ，实轴上无分离点，根据基本规则，可画出根轨迹如下
4-6已知单位反馈系统的开环传递函数为 s(S+1)(0.5s+1) (1)用根轨迹分析系统的稳定性 (2)若主导极点具有阻尼比5=0.5,求系统的性能指标。 【解】(1)首先,零极点标准型的开环传递函数为G(=~3 s(s+1)(s+2)s(S+1)(s+2) 开环的零极点P=0,P2=-1,P3=-2 渐近线n-m=3o=-1,9n={180 分离点:d=1+5,与虚轴的交点:k=30=/互,这是非常见的典型系统的根 轨迹,如下图 (2)当5=0.5,在S平面做60度的射线,交根轨迹与S点,此时 s1=-0.50n+j025on,在当前的增益下,闭环系统有三个根,共轭复根s s2,实根-s3。另由特征方程与根的关系 D(s)=s3+3s2+2+2k=(s+S)s2+ons+on)=s3+(an+s3)s2+(on+ns3)s+on2S3 利用代数关系,可得 n+On3=2,计算,On=2/3,3=71/3,k=14/27 o-s=2k 代入5=0.5,S12=-0.334±10.57,s3=-2.33,由于负实根远大于复根的实部,故可利用
4-6 已知单位反馈系统的开环传递函数为 ( ) ( 1)(0.5 1) k G s s s s = + + （1） 用根轨迹分析系统的稳定性； （2）若主导极点具有阻尼比ξ=0.5，求系统的性能指标。 【解】 （1）首先，零极点标准型的开环传递函数为 2 ( ) ( 1)( 2) ( 1)( 2) k K g G s s s s s s s = = + + + + 开环的零极点 1 2 3 p p p = = − = − 0, 1, 2 渐近线 0 0 0 60 3, 1, 180 60 n m − = = − = − 分离点： 3 1 3 d = − + ，与虚轴的交点： k j = = 3, 2 ，这是非常常见的典型系统的根 轨迹，如下图 （2） 当 = 0.5 ， 在 S 平面 做 60 度 的 射线 ，交 根 轨迹 与 s1 点， 此 时 ， 1 0.5 0.25 n n s j = − + ，在当前的增益下，闭环系统有三个根，共轭复根 s1、 s2,实根-s3。另由特征方程与根的关系 3 2 2 2 3 2 2 2 3 3 3 3 ( ) 3 2 2 ( )( ) ( ) ( ) D s s s s k s s s s s s s s s s = + + + = + + + = + + + + + n n n n n n 利用代数关系，可得 3 2 3 2 3 3 2 2 n n n n s s s k + = + = = ，计算， 3 2/ 3, 7 / 3, 14/ 27 n = = = s k 代入 1,2 3 = = − = − 0.5, 0.334 0.57, 2.33 s j s ，由于负实根远大于复根的实部，故可利用
主导极点法估计系统的性能指标。 =544,∞(%)=c小-×100%=163% 3.5 5% so 1.35 47已知某单位反馈系统的开环传递函数为 k(S+4) S s(s+2) (1)试画出k变化时的闭环根轨迹 (2)分析k对系统性能的影响,并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点 【解】 (1)开环的零极点1=-4,P1=0.,P2=-2 渐近线n-m=1,n=180 分离点:d2=-4±22,此时的k=0.343,k2=11657,与虚轴无交点,系统根轨迹如下图 (2)无论k何值,系统稳定,当0.3430.343时,阻尼减小, 当在s点阻尼最小。由于根轨迹是以(-4,j0)为圆心,以2√2为半径的圆,故根据直角 三角形的几何关系,有另一边长度=22,sinB B 可得在闭环极点 S12=-2±n2,此时k=2 4-10设反馈系统中 ,H(s)=1 s(s+2s+5) 要求 (1)绘制系统根轨迹图,并讨论闭环系统稳定性 (2)如果改变反馈通路的传递函数,使H(s)=1+2s,重做第1小题,讨论Hs)的改变对系
主导极点法估计系统的性能指标。 2 5.44 1 p d n t = = = − ， 2 / 1 (%) 100% 16.3% e − − = = 3.5 1.05 5% 4.4 1.35 2% n s n t = = = = = 4-7 已知某单位反馈系统的开环传递函数为 ( 2) ( 4) ( ) + + = s s k s G s （1）试画出 k 变化时的闭环根轨迹； （2）分析 k 对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。 【解】 （1）开环的零极点 1 1 2 z p p = − = = − 4, 0, 2 渐近线 0 n m 1, 180 − = = 分离点： 1,2 d = − 4 2 2 ，此时的 k1=0.343, k2=11.657，与虚轴无交点，系统根轨迹如下图 （2）无论 k 何值，系统稳定，当 0.343 0.343 时，阻尼减小， 当在 s1 点阻尼最小。由于根轨迹是以（-4，j0）为圆心，以 2 2 为半径的圆，故根据直角 三角形的几何关系，有另一边长度= 2 2 ， 2 2 sin ,cos 2 2 = = ，可得在闭环极点 1,2 s j = − 2 2 ，此时 k=2. 4-10 设反馈系统中 , ( ) 1 ( 2)( 5) ( ) 2 = + + = H s s s s K G s 要求： （1）绘制系统根轨迹图，并讨论闭环系统稳定性； （2）如果改变反馈通路的传递函数，使 H(s)=1+2s，重做第 1 小题，讨论 H(s)的改变对系
统稳定性的影响 【解】(1) 开环的零极点p2=0,p3=-2,p4=-5 渐近线n-m=4,a=-,n= ±135° 分离点:d=-4d=-1.25(舍去),系统的根轨迹,如下图 (2)当H(s)=1+2s,G(s)H(s) K(1+2)2K(s+0.5) S(s+2)(s+5)s(S+2)s+5) 开环的零极点=1=-0.5,P12=0,P3=-2,P4=-5 渐近线n-m=30=-2.169=1180 虚轴交点:K=22.75,O=±j2.54,系统的根轨迹如下图 4-l设系统的闭环特征方程为 (s+a)+k2(s+1)=0 讨论系统的根轨迹(0<kg<)出现一个、两个分离点和没有分离点三种情况下,参数 a的取值范围,作出其相应的根轨迹图 4-12已知单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)= (0.1s+1)(s+1) 试绘制时间常数T从零到无穷时的闭环根轨迹。 【解】特征方程1+G(s)=0,GH(s) T2(s+10) s2+10s+26
统稳定性的影响。 【解】 （1） 开环的零极点 1,2 3 4 p p p = = − = − 0, 2, 5 渐近线 0 0 7 45 4, , 4 135 n m − = = − = 分离点： d d = − = − 4, 1.25( ) 舍去 ，系统的根轨迹，如下图 (2) 当 H(s)=1+2s， 2 2 (1 2 ) 2 ( 0.5) ( ) ( ) ( 2)( 5) ( 2)( 5) K s K s G s H s s s s s s s + + = = + + + + 开环的零极点 1 1,2 3 4 z p p p = − = = − = − 0.5, 0, 2, 5 渐近线 0 0 0 60 3, 2.16, 180 60 n m − = = − = − 虚轴交点： K j = = 22.75, 2.54 ，系统的根轨迹如下图 4-11 设系统的闭环特征方程为 2 ( ) ( 1) 0 g s s a K s + + + = 讨论系统的根轨迹（ 0 Kg ）出现一个、两个分离点和没有分离点三种情况下，参数 a 的取值范围，作出其相应的根轨迹图。 4-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为 2.6 ( ) (0.1 1)( 1) G s s s Ts = + + 试绘制时间常数 T 从零到无穷时的闭环根轨迹。 【解】 特征方程 2 2 ( 10) 1 ( ) 0, ( ) 10 26 Ts s G s GH s s s + + = + +
开环的零极点二12=0,=3=-10,P2=-5±j 渐近线n-m=9=180°,出射角O=894°,系统的根轨迹如下图 4-13已知系统结构如图3-30所示 R(s)∝ C(s) 图3-30习题413系统结构图 1)试确定增益k的值和速度反馈系数k的值,使闭环极点为1±j-1±/3: (2)利用(1)中确定的k值,画出k变化的根轨迹 (3)利用(1)中确定的k值,画出以k为参量的根轨迹,并利用根轨迹讨论速度反馈对 系统瞬态性能的影响。 4-14已知系统的特征多项式为D(s)=3+22+3s++2k,试画出系统的根轨迹。 K(S+2) 【解】特征方程1+G(s)=0.G(s)s3+2+3) 开环的零极点1=-2,P1=0,P23=-1±j √2 渐近线n-m=2,=±90°,出射角b=1947,系统的根轨迹如下图
开环的零极点 1,2 3 1,2 z z p j = = − = − 0, 10, 5 渐近线 0 n m 1, 180 − = = ，出射角 0 = 89.4 ，系统的根轨迹如下图 4-13 已知系统结构如图 3-30 所示 图 3-30 习题 4-13 系统结构图 （1）试确定增益 k 的值和速度反馈系数 kh 的值，使闭环极点为-1±j −1 j 3 ； （2）利用（1）中确定的 kh 值，画出 k 变化的根轨迹； （3）利用（1）中确定的 k 值，画出以 kh 为参量的根轨迹，并利用根轨迹讨论速度反馈对 系统瞬态性能的影响。 4-14 已知系统的特征多项式为 D(s)=s3+2s2+3s+ks+2k，试画出系统的根轨迹。 【解】 特征方程 2 ( 2) 1 ( ) 0, ( ) ( 2 3) K s G s GH s s s s + + = + + 开环的零极点 1 1 2,3 z p p j = − = = − 2, 0, 1 2 渐近线 0 n m 2, 90 − = = ，出射角 0 =19.47 ，系统的根轨迹如下图
4-15已知反馈系统的结构图如331图所示,试画出以速度反馈系数为参数变量的根轨迹, 并讨论速度反馈对系统瞬态响应的影响。 N(s) R 图3-31习题4-15结构图 图3-32习题4-16结构图 4-16已知系统结构如3-32图所示,试画出系统根轨迹图,并分析k值变化对系统在阶跃扰 动作用下响应cn()的影响
4-15 已知反馈系统的结构图如 3-31 图所示，试画出以速度反馈系数 为参数变量的根轨迹， 并讨论速度反馈对系统瞬态响应的影响。 图 3-31 习题 4-15 结构图 图 3-32 习题 4-16 结构图 4-16 已知系统结构如 3-32 图所示，试画出系统根轨迹图，并分析 k 值变化对系统在阶跃扰 动作用下响应 cn(t)的影响
