西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（各章节重点难点）第八章 非线性控制系统的分析

第8章非线性控制系统的分析 重点与难点 基本概念 线性与非线性系统的联系与区别 控制系统在不同程度上都存在着非线性。有些系统可以在工作点附近把它线性化, 然后按线性系统来处理(如三级管放大器电路),但当系统含有本征非线性特性(如死区 特性、继电器特性等)时,就不能用线性化的方法处理。死区特性将使系统出现较大的 稳态误差。饱和特性将降低系统的超调量,有时还会引起稳定振荡。间隙特性可使系统 的振荡加剧,静差也会增大,有时会使系统不稳定。继电器特性会出现低速爬行、蠕动 及响应不平滑等现象。 与线性系统相比,非线性系统与线性系统的本质差别可以概括为以下三点: (1)线性系统可以使用叠加原理,而非线性系统不能使用叠加原理; (2)线性系统的稳定性与初值、输入无关,而非线性系统的稳定性与初值、输入有关 (3)线性系统可以写出通解形式,而非线性系统无法写出通解形式 2.相平面分析法 以x,ⅸ为坐标的平面就叫相平面,系统的某一状态对应于相平面上的一点。相平面 上的点随时间变化的轨迹叫相轨迹 对应于二阶线性定常系统的相轨迹,可以对非线性系统进行分析,这种分析方法称 为相平面分析法 阶线性定常系统的相轨迹如表8-1所示。 3.极限环 非线性系统存在着稳定的振荡状态,在相平面图上可表示为一个孤立的封闭相轨迹。 所有附近的相轨迹都渐近地趋向这个封闭的相轨迹,或离开该封闭的相轨迹,该相轨迹 称为极限环。极限环分为稳定和不稳定等四种形式,如表8-2所示。 非线性系统可能没有极限环,也可能存在多个极限环。在相平面图形上,一个稳定 的极限环就对应于一个自振状态 4.相平面做图法L等倾线法 令a=/dx,即a=f(x,x)。对于a的不同取值,由a=f(x,)可得到x与的 不同关系式,而且在曲线a=∫(x,x)上,均具有相同的斜率a。给出一组a,就可近似

·43· 第 8 章 非线性控制系统的分析 重点与难点 一、基本概念 1. 线性与非线性系统的联系与区别 控制系统在不同程度上都存在着非线性。有些系统可以在工作点附近把它线性化， 然后按线性系统来处理（如三级管放大器电路），但当系统含有本征非线性特性（如死区 特性、继电器特性等）时，就不能用线性化的方法处理。死区特性将使系统出现较大的 稳态误差。饱和特性将降低系统的超调量，有时还会引起稳定振荡。间隙特性可使系统 的振荡加剧，静差也会增大，有时会使系统不稳定。继电器特性会出现低速爬行、蠕动 及响应不平滑等现象。 与线性系统相比，非线性系统与线性系统的本质差别可以概括为以下三点： （1）线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统不能使用叠加原理； （2）线性系统的稳定性与初值、输入无关，而非线性系统的稳定性与初值、输入有关； （3）线性系统可以写出通解形式，而非线性系统无法写出通解形式。 2. 相平面分析法 以 x，x 为坐标的平面就叫相平面，系统的某一状态对应于相平面上的一点。相平面 上的点随时间变化的轨迹叫相轨迹。 对应于二阶线性定常系统的相轨迹，可以对非线性系统进行分析，这种分析方法称 为相平面分析法。 二阶线性定常系统的相轨迹如表 8-1 所示。 3. 极限环 非线性系统存在着稳定的振荡状态，在相平面图上可表示为一个孤立的封闭相轨迹。 所有附近的相轨迹都渐近地趋向这个封闭的相轨迹，或离开该封闭的相轨迹，该相轨迹 称为极限环。极限环分为稳定和不稳定等四种形式，如表 8-2 所示。 非线性系统可能没有极限环，也可能存在多个极限环。在相平面图形上，一个稳定 的极限环就对应于一个自振状态。 4. 相平面做图法 I—等倾线法 令 a  dx / dx ，即 a  f (x, x)。对于 a 的不同取值，由 a  f (x, x)可得到 x 与 x 的 不同关系式，而且在曲线 a  f (x, x)上，均具有相同的斜率 a 。给出一组 a ，就可近似

描绘出相平面图形。 表8-1二阶线性系统+25on文+O2x=0的相轨迹 相轨迹方程 相轨迹图 5=0 0 (+5o, x)+O,x 稳 定 Co ex x+so 焦 点 稳 (x+q2x)=C0(x+q1x)4 定 节 点 不 似于0<5<1的情况 焦 点 <-1 420 2 鞍 44

·44· 描绘出相平面图形。 表 8-1 二阶线性系统 2 0 2 x  n x  n x  的相轨迹  相轨迹方程 奇点 相轨迹图   0 1 2 2 2 2 2    A n x A x  中 心 01 2 1 ( ) ( ) 2 0 1 q q x  q x  C x  q x 稳 定 节 点 -1< <0 类似于 0< <1 的情况 不 稳 定 焦 点  <-1 1 2 2 2 2 2    A x A x n  鞍 点

表8-2极限环基本形式 序号 相轨迹 时间历程图 分类 元 稳定极 不稳定 极限环 ① 不稳定 2极限环 0 不稳定 t极限环

·45· 表 8-2 极限环基本形式 序号 相轨迹图 时间历程图 分类 1 稳定极 限环 2 不稳定 极限环 3 不稳定 极限环 4 不稳定 极限环

5.相平面做图法Iδ方法 给=f(x,x)两边同加2x,得 x=f(x,x)+ox 6(x,)=f(x)+ox x+ox=d(x, x)o 因此 +(x-81)2=d 式中 6=6(x1,)42=x+(x1-6 利用上式就可得点[x1,]邻域内的相平面图形。 6.描述函数 描述函数N定义为非线性特性输出的基波分量与输入正弦量的复数比,即 ∠q1 A B, A 式中X为输入正弦量x(1)的幅值,A1,B1为输出量中基波分量的傅氏系数。 7.用描述函数分析非线性系统的基本假设 (1)系统可归化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型单位反馈结构 (2)非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波幅值: (3)线性部分的低通滤波性能很好 8描述函数法分析稳定性和自振 将线性系统的奈奎斯特稳定性判据推广,应用于非线性系统。当给定的假设条件满 足时,在描述函数法中可以用线性系统中线性部分的频率特性G()相对于临界点 的相对位置来判断非线性系统的稳定性 设线性部分的G(s)中有右根P个 (1)若G(o)曲线逆时针包围整个 曲线P/2圈,则该系统是闭环稳定的 N(X) 否则该非线性系统是不稳定的 (2)若G(jo)曲线与 A(没有交点,则系统不存在周期的等幅振荡 (3)若G(0)曲线与~1 有交点(此时类似于线性系统中G(O)=-1),则非 N(X

·46· 5. 相平面做图法 II— 方法 给 x  f (x, x) 两边同加 x 2  ，得 令 x x f x x x 2 2   ( , )  2 2 ( , ) ( , )    f x x x x x     得 2 2 x x   (x, x) 因此 2 1 2 1 2 (x ) d x             式中 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) (  )       x  x x x d   利用上式就可得点[ , ] 1 1 x x 邻域内的相平面图形。 6. 描述函数 描述函数 N 定义为非线性特性输出的基波分量与输入正弦量的复数比，即 X A j X B B A X A B X Y N 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 arctg       式中 X 为输入正弦量 x(t) 的幅值， 1 1 A , B 为输出量中基波分量的傅氏系数。 7. 用描述函数分析非线性系统的基本假设 （1）系统可归化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型单位反馈结构； （2）非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波幅值； （3）线性部分的低通滤波性能很好。 8. 描述函数法分析稳定性和自振 将线性系统的奈奎斯特稳定性判据推广，应用于非线性系统。当给定的假设条件满 足时，在描述函数法中可以用线性系统中线性部分的频率特性 G( j) 相对于临界点 ( ) 1 N X  的相对位置来判断非线性系统的稳定性。 设线性部分的G(s)中有右根 P 个。 （1）若G( j) 曲线逆时针包围整个 ( ) 1 N X  曲线 P / 2 圈，则该系统是闭环稳定的， 否则该非线性系统是不稳定的。 （2）若G( j) 曲线与 ( ) 1 N X  没有交点，则系统不存在周期的等幅振荡。 （3）若 G( j) 曲线与 ( ) 1 N X  有交点（此时类似于线性系统中G( j) =-1），则非

线性系统处于临界状态,存在等幅振荡,是周期运动状态。至于G(ω)与 两条 N(X 曲线的交点是否就是自振点,还要看此交点是否就是存在稳定周期运动的点,只有存在 着稳定的周期运动的点才是自振点 (4)如果非线性系统的线性部分G(s)上有最小相位性质,即P=0,判断非线性系 统简单了许多,即:若G(o)曲线包围 曲线,则非线性系统不稳定;若G(jo) 曲线不包围 曲线,而非线性系统稳定;若G(jo)曲线和 曲线相交,则系 N(X 统存在周期运动;若当振幅X增大时, A(曲线由G(O)包围的区域(不稳定区) 穿出,该交点处存在着稳定的周期运动,该交点是自振点。 难点及求解方法 1.系统结构的简化 为了用描述函数判定系统的性能,必须将系统结构简化为一个线性部分和一个非线 性部分的串联形式 判别非线性系统稳定性的步骤为 第一步:将实际系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型结构。 (1)令输入信号r()=0 (2)将非线性元件合并为等效的非线性部分 ①非线性环节串联两个非线性环节串联,可将两个环节的特性归化为一个特性, 即第一个非线性环节的输入为归化后的非线性部分的输入,以第二个非线性环节的输出 为归化后的非线性特性的输出。串联的非线性环节次序不可交换。一般地说,不能用两 个串联的非线性环节描述函数相乘得到等效的非线性特性的描述函数。 用同样的方法,依次将多个串联非线性环节的描述函数求出 ②非线性环节并联r个非线性环节并联后的描述函数并不等于各非线性环节的 描述函数的代数和。假定第i个非线性环节的描述函数为 N=x4+B1∠a(g 则等效的非线性特性的描述函数为 ∑A ∑A Bn∠ arct BI

·47· 线性系统处于临界状态，存在等幅振荡，是周期运动状态。至于G( j) 与 ( ) 1 N X  两条 曲线的交点是否就是自振点，还要看此交点是否就是存在稳定周期运动的点，只有存在 着稳定的周期运动的点才是自振点。 （4）如果非线性系统的线性部分G(s)上有最小相位性质，即 P  0，判断非线性系 统简单了许多，即：若G( j) 曲线包围 ( ) 1 N X  曲线，则非线性系统不稳定；若G( j) 曲线不包围 ( ) 1 N X  曲线，而非线性系统稳定；若G( j) 曲线和 ( ) 1 N X  曲线相交，则系 统存在周期运动；若当振幅 X 增大时， ( ) 1 N X  曲线由G( j) 包围的区域（不稳定区） 穿出，该交点处存在着稳定的周期运动，该交点是自振点。 二、难点及求解方法 1. 系统结构的简化 为了用描述函数判定系统的性能，必须将系统结构简化为一个线性部分和一个非线 性部分的串联形式。 判别非线性系统稳定性的步骤为： 第一步：将实际系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型结构。 （1）令输入信号 r(t)  0 （2）将非线性元件合并为等效的非线性部分。 ① 非线性环节串联 两个非线性环节串联，可将两个环节的特性归化为一个特性， 即第一个非线性环节的输入为归化后的非线性部分的输入，以第二个非线性环节的输出 为归化后的非线性特性的输出。串联的非线性环节次序不可交换。一般地说，不能用两 个串联的非线性环节描述函数相乘得到等效的非线性特性的描述函数。 用同样的方法，依次将多个串联非线性环节的描述函数求出。 ② 非线性环节并联 r 个非线性环节并联后的描述函数并不等于各非线性环节的 描述函数的代数和。假定第i 个非线性环节的描述函数为 li li i li li B A A B X N arctg 1    则等效的非线性特性的描述函数为                        r i li r i r li i li r i li B A A B X N 1 1 2 1 2 1 arctg 1

(3)将各线性元件合并为一个等效部分。多个线性环节按照等效变换的原则进行结 构图变换,但要保证加到非线性部分的输入、输出不变 实际应用中可以用G(jo)曲线与-7 曲线的相对位置来判断非线性系统的稳 N(X) 定性,也可以用K0G()曲线与 曲线的相对位置来判断非线性系统的稳定 No(X) 性 称做相对负倒描述函数,K。称做非线性系统的尺度系数。描述函数是相 0(X) 对描述函数N(x)与尺度系数K0之积,即 N(X)=KoN(x) 第二步做线性部分的幅相频率特性曲线G()。 给出一系列O值,列表计算O一G(0)及O-KG(),在复平面做出 K0G(o)曲线 第三步求非线性部分的负倒描述函数l 并做出相对负倒描述函数曲线 N(X) No(X) (1)求描述函数。常用的曲型非线性特性描述函数可以通过查表得到 计算非线性特性描述函数的方法(略)。 (2)求负倒描述函数M受相对负倒描述函数-。列表计算 N6(X) 值,将相对负倒描述函数 N0(X) 曲线与KG(jm)曲线同做在一张图 第四步判别非线性系统的稳定性。 根据K0G(o)曲线与 曲线的相对位置判别系统的稳定性。显然,对于最 No(X) 小相位系统,K0G(O)曲线不包围 曲线,非线性系统稳定;K。G(jo)曲线 N0(X) 包围的相对负倒描述函数 曲线,则非线性系统不稳定;如果K0G()曲线包 围相对负倒描述函数 曲线的一部分,则非线性系统区域性不稳定 用描述函数法分析系统的自振 自振即自激振荡,是一种振幅能自动恢复的周期运动,是一种稳定的周期运动

·48· （3）将各线性元件合并为一个等效部分。多个线性环节按照等效变换的原则进行结 构图变换，但要保证加到非线性部分的输入、输出不变。 实际应用中可以用G( j) 曲线与 ( ) 1 N X  曲线的相对位置来判断非线性系统的稳 定性，也可以用 ( ) K0G j 曲线与 ( ) 1 N0 X  曲线的相对位置来判断非线性系统的稳定 性。 ( ) 1 N0 X  称做相对负倒描述函数， K0 称做非线性系统的尺度系数。描述函数是相 对描述函数 ( ) 0 N x 与尺度系数 K0 之积，即 ( ) ( ) 0 0 N X  K N x 第二步 做线性部分的幅相频率特性曲线G( j) 。 给出一系列  值，列表计算  — G( j) 及  — ( ) K0G j ，在复平面做出 ( ) K0G j 曲线。 第三步 求非线性部分的负倒描述函数 ( ) 1 N X  ，并做出相对负倒描述函数曲线 ( ) 1 N0 X  。 （1）求描述函数。常用的曲型非线性特性描述函数可以通过查表得到。 计算非线性特性描述函数的方法（略）。 （ 2） 求 负 倒 描 述 函 数 ( ) 1 N X  及 相 对 负 倒 描 述 函 数 ( ) 1 N0 X   。 列 表 计 算 N (X) 1 X 0   值，将相对负倒描述函数 ( ) 1 N0 X  曲线与 ( ) K0G j 曲线同做在一张图 上。 第四步 判别非线性系统的稳定性。 根据 ( ) K0G j 曲线与 ( ) 1 N0 X  曲线的相对位置判别系统的稳定性。显然，对于最 小相位系统， ( ) K0G j 曲线不包围 ( ) 1 N0 X  曲线，非线性系统稳定； ( ) K0G j 曲线 包围的相对负倒描述函数 ( ) 1 N0 X  曲线，则非线性系统不稳定；如果 ( ) K0G j 曲线包 围相对负倒描述函数 ( ) 1 N0 X  曲线的一部分，则非线性系统区域性不稳定。 2. 用描述函数法分析系统的自振 自振即自激振荡，是一种振幅能自动恢复的周期运动，是一种稳定的周期运动

在非线性系统中,如果存在G()= 或K0G() ,则系统处 NCX NoON 于等幅振荡状态,是周期运动状态。处于周期运动状态的不一定是自振。只有稳定的周 期运动才称之为自振。换言之,自振点都在KG()与-1 曲线的交点上,但是 No(X) K0G(j)与 曲线的交点不都是自振点。 自振是非线性理论研究的重要内容 确定非线性系统自振点及自振参数的步骤为: 第一步将系统归化为典型结构 第二步根据非线性特性査表或求出N。(X)。 第三步列表计算一K0G(o)及X 在同一张图上做出K0G(o) 0(X) 及 曲线 第四步KG(o)与-N(x) 曲线的交点即K0G(o) M()的点 第五步确定自振点。K0G(o)曲线包围的区为不稳定区。 曲线由不稳 定区穿出到稳定区时与K0G(O)= 曲线的交点为自振点。 No(X) 第六步确定自振参数O,X0自振点是KG(j)与 曲线的交点,此交 N0(X) 点处G(o)曲线对应的O为该自振点的频率;此交点处的 对应的X值为该自 0(X) 振点的振幅 3.相平面图形及奇点类型的确定 相平面做图时应注意以下几个问题 (1)确定有无对称性 (2)找出奇点 dx 0 (3)相轨迹垂直通过x轴 (4)走向:若x>0,则x增大,若文<0,则x减小 (5)确定极限环; (6)确定奇点类型

·49· 在非线性系统中，如果存在 ( ) 1 ( ) N X G j   或 ( ) 1 ( ) 0 0 N X K G j   ，则系统处 于等幅振荡状态，是周期运动状态。处于周期运动状态的不一定是自振。只有稳定的周 期运动才称之为自振。换言之，自振点都在 ( ) K0G j 与 ( ) 1 N0 X  曲线的交点上，但是 ( ) K0G j 与 ( ) 1 N0 X  曲线的交点不都是自振点。 自振是非线性理论研究的重要内容。 确定非线性系统自振点及自振参数的步骤为： 第一步 将系统归化为典型结构。 第二步 根据非线性特性查表或求出 ( ) N0 X 。 第三步 列表计算 — ( ) K0G j 及 X — ( ) 1 N0 X  ，在同一张图上做出 ( ) K0G j 及 ( ) 1 N0 X  曲线。 第四步 ( ) K0G j 与 ( ) 1 N0 X  曲线的交点即 ( ) 1 ( ) 0 0 N X K G j   的点。 第五步 确定自振点。 ( ) K0G j 曲线包围的区为不稳定区。 ( ) 1 N0 X  曲线由不稳 定区穿出到稳定区时与 ( ) 1 ( ) 0 0 N X K G j   曲线的交点为自振点。 第六步 确定自振参数 ， X 0自振点是 ( ) 1 ( ) 0 0 N X K G j 与 曲线的交点，此交 点处G( j) 曲线对应的 为该自振点的频率；此交点处的 ( ) 1 N0 X  对应的 X 值为该自 振点的振幅。 3. 相平面图形及奇点类型的确定 相平面做图时应注意以下几个问题： （1）确定有无对称性； （2）找出奇点 0 0  dx dx ； （3）相轨迹垂直通过 x 轴； （4）走向：若 x  0，则 x 增大，若 x  0，则 x 减小； （5）确定极限环； （6）确定奇点类型

dx 0 dx 0 f(i,xo) 则xf(6,x)≈1inxf,x)o/G,x)1 alf Gi, x) Gi-io 根据上式的近似展开式,与线性二阶系统相对应,就可确定出奇点类型。 、基本要求 以下内容必须掌握 (1)非线性系统与线性系统的区别与联系; (2)相平面图形及其奇点确定方法 (3)用极限环分析系统的稳定性和自振 (4)描述函数及其性质 (5)非线性系统结构的简化 (6)用描述函数分析系统的稳定性、自振及有关参数

·50· 设 ( , ) 0 0 0 f x x dx dx     则 ( ) [ ( , )] ( ) [ ( , )] ( , ) lim ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x xf x x x x x xf x x xf x x xf x x x x x x x x x x x x x x                            根据上式的近似展开式，与线性二阶系统相对应，就可确定出奇点类型。 三、基本要求 以下内容必须掌握： （1）非线性系统与线性系统的区别与联系； （2）相平面图形及其奇点确定方法； （3）用极限环分析系统的稳定性和自振； （4）描述函数及其性质； （5）非线性系统结构的简化； （6）用描述函数分析系统的稳定性、自振及有关参数