西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（各章节例题解析）第六章 线性系统的校正方法

第6章线性系统的校正方法 ◆例题解析 例6-1设火炮指挥系统(图6-1)开环传递函数 K S(0.2s+1)0.5s+1) 系统最大输出速度为2r/min,输出位置的容许误差小于20。求: (1)确定满足上述指标的最小K值,计算该K值下的相位裕量和幅值裕量。 (2)前向通路中串联超前校正网络G2(S)=(1+04s)/1+008s),试计算相位裕 量和幅值裕量。 解:(1)Kr=一= R希望的输出速度2×360°/ e容许位置误差 2 故G(s) (0.2s+1)(0.5s+1) L()={201g 25 201g ×0.50×0.20 L(o)=0 可得 3.5 y=180-90-arc8(020)-arcg(050)=-49<0°

·226· 第 6 章 线性系统的校正方法 例题解析 例 6-1 设火炮指挥系统（图 6-1）开环传递函数 (0.2 1)(0.5 1) ( )    s s s K G s 系统最大输出速度为 2r/min，输出位置的容许误差小于 2 0。求： （1）确定满足上述指标的最小 K 值，计算该 K 值下的相位裕量和幅值裕量。 （2）前向通路中串联超前校正网络 G (s) (1 0.4s)/(1 0.08s) c    ，试计算相位裕 量和幅值裕量。 图 6-1 解：（1） 6 2 2 360 / 60 0      容许位置误差 希望的输出速度 ss r e R K 故 (0.2 1)(0.5 1) 6 ( )    s s s G s                0.5 0.2 6 20 lg 0.5 6 20 lg 6 20 lg L( ) 5 2 5 2        令 L()  0 可得  3.5 C 0 0 0 0   180  90  arctg(0.2c )  arctg(0.5c )  4.9  0 G(s) R(s) E(s) C(s)

G(o) jo(0.2+1)(0.5j0+1) 所以系统不稳定。 (2)串联超前校正网络G(s)=(1+04s)/(1+0.08s) (0.2s+1)0.5s+1)1+0. 2 20 可见串入超前校正网络后,γ增大,系统变为稳定。 例6-2设开环传递函数 G(S) K (s+1)(0.0ls+1) 单位斜坡输入R(r)=,输入产生稳态误差e≤0.0625。若使校正后相位裕量不低于 5,截止频率O。>2rad/s,试设计校正系统 ≤0.0625 K≥16

·227· (0.2 1)(0.5 1) 6 ( )        j j j G j 当 Im=0 时，  10  g 0.86 1 ( ) 1    g G j h  所以系统不稳定。 （2）串联超前校正网络G(s)  (1 0.4s)/(1 0.08s) s s s s s G s 1 0.08 1 0.4 (0.2 1)(0.5 1) 6 ( )       L()                         12.5 0.2 0.5 0.08 6 0.4 20lg 5 12.5 0.2 0.5 6 0.4 20lg 2.5 5 0.5 6 0.4 20lg 2 2.5 0.5 6 20lg 2 6 20lg                     令 L（ ）=0 得  c=4.8 (0.5 ) (0.08 ) 20.2 0 180 90 (0.4 ) (0.2 ) 0 0 0        c c c c arctg arctg arctg arctg      可见串入超前校正网络后， 增大，系统变为稳定。 例 6-2 设开环传递函数 ( 1)(0.01 1) ( )    s s s K G s 单位斜坡输入 R（t）=t，输入产生稳态误差e  0.0625。若使校正后相位裕量   不低于 45 0，截止频率 * c  2rad /s ，试设计校正系统。 解： 0.0625 1   K e K 16

L(O)={20lg m,q(o)更负的原因。 n2y-y+(5°~12 sin 中频段 L(O c) 所以 验算 180+gn+(oc 1800+43-900-arc2go- arct(001oc)=48>45° O=1/(7 T=1/(ova)=0.076 所以串联超前网络后系统开环传递函数为 0.385+1 G(s)= s(s+1)(00ls+1)0.076s+1 例6-3为满足要求的稳态性能指标,一单位反馈伺服系统的开环传递函数为 G(s) (0.ls+1)

·228·           100 0.01 16 20 lg 1 100 16 20 lg 1 16 20 lg ( ) 2 2        L  ' 0 ' ' 0 0 0 ' 180 (0.01 ) 90 12 45 4        c c c  arctg arctg   不满足性能要求，需加以校正。 系统中频区斜率－40dB/dec 穿越 0dB，故选用超前网络校正。 设超前网络相角为 m ，则 ' 0 0 0  m    (5 ~ 12 )  8 选择-5 0~-12 0是由于校正后 c  c   ， ( j) G 更负的原因。 (5 ~ 12 ) ' 0 0        m 0 0 0 0  m  45 12 10  43 5 1 sin 43 1 sin 43 1 sin 1 sin 0 0        m m a   中频段 ( ) 0 '' L  c  1 ( '' ) 16 2 a   c 所以   5.9 c 验算  180   ( )  '' 0 ''   m  j c 0 0 0 '' '' 0 0 180  43  90  arctgc  arctg(0.01 c )  48  45 1/(T a) c   1/( ) 0.076 '' T   c a  所以串联超前网络后系统开环传递函数为 0.076 1 0.38 1 ( 1)(0.01 1 16 ( ) '       s s s s s G s ） 例 6-3 为满足要求的稳态性能指标，一单位反馈伺服系统的开环传递函数为 (0.1 1) 200 ( )   s s G s

试设计一个无源校正网络,使已校正系统的相位裕量不小于450,截止频率不低于50rad 201g 10 .1a y=180-90-acg(0.loa)=126y T=1/a√a)=0.067 0.03s+1 故校正网络 G(s s(0.067s+1) 40(0.03s+1) s(0.ls+1)(0.067s+1) 例6-4单位反馈系统开环传递函数为 G(s)= S(0.2s+1)(0.0625s+1) 若要求校正后系统的相位裕量为309,幅值裕量为10~12dB,试设计串联校正装置 解:原系统中频区频带窄,需使用一超前网络G()=0625+1拓宽频率 0.00625s+1 G1(s)= s(0.2s+1)0.00625s+1)

·229· 试设计一个无源校正网络，使已校正系统的相位裕量不小于45 0，截止频率不低于50rad/s。 解:            0.1 200 20lg 200 20lg L( ) 10 10      44.7 c          0 0 0 180 90 arctg (0.1 c ) 12.6 不满足性能要求，需串联一超前校正网络。 （1）求 m ' 0 0   10  42.4     m （2）求 a 5 1 sin 1 sin     m m a   （3）解 c  1 0.1( ) 200 '' 2 a   c 67 ''  c     180 42.4  90  (0.1 )  50.8   '' 0 0 0 '' arctg c     '' c c     '' 1/( ) 0.067 '' T   c a  故校正网络 (0.067 1) 0.03 1 ( )    s s s G s (0.1 1)(0.067 1) 40(0.03 1) ( ) '     s s s s G s 例 6-4 单位反馈系统开环传递函数为 (0.2 1)(0.0625 1) 40 ( )    s s s G s 若要求校正后系统的相位裕量为 30 0，幅值裕量为 10~12dB，试设计串联校正装置。 解：原系统中频区频带窄，需使用一超前网络 0.00625 1 0.0625 1 ( ) 1    s s G s c 拓宽频率。 即 (0.2 1)(0.00625 1) 40 ( ) 1    s s s G s

0160 20lg- rc!g(0.2oc)-arcg(0.00625c)=14°y T=1/(oa)=035 0.088s+1 G2(S)= 2.52(0.035s+1) 0.0625s+1 0.088s+1 校正后G(s)= s(0.2s+1)(0.0625s+1)0.00625s+12.52(0.035s+1) 验证Hg 10=20 )Ig- 15.9×008801 1=252 1×0.201×0.03501 12=201g 15.9×00880, O2×0.202×0.03502 28.2 e(01)=acg(0889)-90-arcg(02o)-arcg(0062501)-arcg(0.03501) =-153.3 e(02)= arct(08802)-90-ae(g(02o2)-arcg(0.0062802)-arcg(0.03502) =-155.5 校正后系统满足幅值裕量条件。 例6-5设单位反馈系统开环传递函数为 G()=-4f 试设计串联校正装置,满足下列性能:

·230·                0.2 0.000625 40 20lg 0.2 40 20lg 40 20lg L( ) 160 5 160 5        14 '  c             ' 0 0 ' ' 0 180 90 arctg(0.2 c ) arctg(0.00625 c ) 14 不满足性能指标要求，现设计校正网络 ' 0 0   10  26     m 2.52 1 sin 1 sin     m m a   1 ( ) 0.2 40 '' 2  c  a  18 ''  c              '' 0 0 0 '' '' 0 180 26 90 arctg(0.2 c ) arctg(0.00625 c ) 35 1/( ) 0.035 '' T   c a  2.52(0.035 1) 0.088 1 ( ) 2    s s G s c 校正后 2.52(0.035 1) 0.088 1 0.00625 1 0.0625 1 (0.2 1)(0.0625 1) 40 ( ) '          s s s s s s s G s 验证 Hg * 1 1 1 1 0.2 0.035 15.9 0.088 10 20lg          1  25.2 2 2 2 2 0.2 0.035 15.9 0.088 12 20lg          2  28.2 0 0 2 2 2 0 2 2 0 0 1 1 1 0 1 1 155.5 180 ( ) (0.088 ) 90 (0.2 ) (0.00628 ) (0.035 ) 153.3 180 ( ) (0.088 ) 90 (0.2 ) (0.00625 ) (0.035 )                               j arctg arctg arctg arctg j arctg arctg arctg arctg G G 校正后系统满足幅值裕量条件。 例 6-5 设单位反馈系统开环传递函数为 ( 2) 4 ( )   s s K G s 试设计串联校正装置，满足下列性能：

(1)在单位斜坡作用下e=0.05 (2)相位裕量y≥45,幅值裕量h≥10dB。 解:对于校正前的系统 4K 2K G(s) 2s(S/2+1)s(s/2+1) 3k=0.05 O<2 所以K=10 L(o) 20g-20 v0×0.50 =180°-90-arcg(o)=1750<45° 不满足性能指标,需用一超前网络进行校正 设超前网络相角为qm,则 (5°~120)≥y y+(5°~12°) 1750+10.5°=3 91+509m=414 a= 中频段 a=1c’c=902 (oc)2/2 验算 y=180°+gn+(jo)=180°+38-90- arrigo c=45° ois=1/a)T=1/ava)=005 串联超前网络 0.22s+1 G(S) 0.05s+1 201g 解得 5.52

·231· （1）在单位斜坡作用下  0.05 ss e ； （2）相位裕量 0   45 ，幅值裕量 h  10dB 。 解：对于校正前的系统 ( / 2 1) 2 2 ( / 2 1) 4 ( )     s s K s s K G s 0.05 2 1   K ess 所以 K=10            0.5 20 20lg 20 20lg ( ) w L 2 2     6.32 '  c  ' 0 0 ' 0 0 ) 17.5 45 2 1   180  90  arctg(  c   不满足性能指标，需用一超前网络进行校正。 设超前网络相角为 m ，则 4.14 1 sin 1 sin 45 17.5 10.5 38 (5 ~ 12 ) (5 ~ 12 ) 0 0 0 0 ' 0 0 ' 0 0                 m m m m m a          中频段 1 ( ) / 2 20 '' 2 a   c 9.02 ''  c  验算 '' 0 '' 0 0 0 '' 0   180  m ( j c )  180  38  90  arctg c  45 c 1/T a  ''   1/( ) 0.05 '' T   c a  串联超前网络 0.05 1 0.22 1 ( )    s s G s c          a 1 2 1 20 20 lg 20 20 lg 10 1 1 1    5 5 1 1     解得 1  5.52

qG=arcg(022a1)-90-acg(0.0501)-acg(0.501)=-1248>-180 可见系统满足幅值裕量条件 例6-6设单位反馈开环传递函数G(s) 试设计串联超前校正装置,满 s(s+1) 足 (1)y>45° (2)在单位斜坡作用下e,<l/15。 解:对于校正前的系统 e=l/K<15 所以 K=15 one L(O)= 可得 Oc=3.9 y=1809-90- arrigo c=14.5<45° 不满足性能指标,需选取串联超前校正。 设 Pm +y-(5 )≥y 9n2y-y+(5~120) 0n1+sn9m=473 ≥450-1450+10.50=41° 中频段 5.71 验算 y=180°+gn+q(joc)=180°+41°-900- ariga c=51° 1/(a√a)=0.08 故选用的超前校正网络为 0.38s+1 G(s) 0.08s+1 例6-7已知单位反馈系统开环传递函数 K G(s) S(0.05+1)(0.2s+1)

·232· 0 0 1 1 0  G  arctg(0.221 )  90  arctg(0.05 )  arctg(0.5 )  124.8  180 可见系统满足幅值裕量条件。 例 6-6 设单位反馈开环传递函数 ( 1) ( )   s s K G s 。试设计串联超前校正装置，满 足： （1） 0   45 ； （2）在单位斜坡作用下  1/15 ss e 。 解：对于校正前的系统 e  1/ K  15 ss 所以 K 15       2 15 20lg 15 20lg ( )   L  1 1     可得 3.9 '  c  ' 0 0 ' 0 0   180  90  arctg c  14.5  45 不满足性能指标，需选取串联超前校正。 设      (5 ~ 12 )   ' 0 0 m 4.73 1 sin 1 sin 45 14.5 10.5 41 (5 ~ 12 ) 0 0 0 0 ' 0 0             m m m m a       中频段 1 ( ) 15 '' 2 a   c 5.71 ''  c  验算 '' 0 '' 0 0 0 '' 0   180  m ( j c )  180  41  90  arctg c  51 1/( ) ''  c  T a 1/( ) 0.08 '' T   c a  故选用的超前校正网络为 0.08 1 0.38 1 ( )    s s G s c 例 6-7 已知单位反馈系统开环传递函数 (0.05 1)(0.2 1) ( )    s s s K G s

设计串联超前校正网络使系统K,≥5s-,超调量不大于25%,调节时间不大于ls 解:由性能指标可知 =0.16+04l(M,-1)≤0.25 M=1.225 K=2+1.5(M-1)+2.5(M-1)2=246 O=774y=sin-(,,)=547° 对于校正前的系统 20 O20 O×0.20×0.050 解得 y=180-90-amcg(0,2oc)-arcg(0050c)=31° 不满足要求,需进行校正 +10=34 3.5 0.5 6.8 02(oc)2 验证y"=180+34°-arcg(0.050c)-acg(0.2oc)-90=3560y 1(o va)=0071

·233· 设计串联超前校正网络使系统 1 5  K  s r ，超调量不大于 25%，调节时间不大于 1s。 解：由性能指标可知   0.16  0.41(Mr 1)  0.25 Mr=1.225 K=2+1.5（Mr－1）+2.5（Mr－1）2=2.46 c s K t     7.74  c 1 0 ) 54.7 1  sin (    M r  对于校正前的系统 K=5             20 0.2 0.05 5 20lg 5 20 0.2 5 20lg 5 5 20lg ( )          L  解得 5 '  c  ' 0 0 ' ' 0   180  90  arctg(0.2 c )  arctg(0.05 c )  31 不满足要求，需进行校正 ' 0 0   10  34     m 3.5 1 sin 1 sin     m m a   1 0.2( ) 0.5 '' 2 a   c 6.8 ''  c  验证             '' 0 0 '' '' 0 0 180 34 arctg(0.05 c ) arctg(0.2 c ) 90 35.6 增大 a 值，令 a=4 0 36.9 1 1 arcsin     a a  m 1 0.2( ) 5 '' 2 a   c 7.07 ''  c              '' 0 0 0 '' '' 0 180 36.9 90 arctg(0.05 c ) arctg(0.2 c ) 52.6 1/  0.071 '' T   c a 

所以 aTs+10.283s+1 Ts+10.07ls+1 例6-8设单位反馈系统的开环传递函数 K s(S+1)(0.2s+1) 设计串联校正装置,满足K=8rads,y(o)=40 olg L(o) 201g 201g 0×O×0.20 解得 2.8 90-arctg@ c-arctg(0.lo c) 900-70.30-156°=405°<y 选用滞后校正系统 180°-900- arrigo-arcg(0.2oc)-6°=4 arct@ c+ arct(0.20 c)=44 1.2c =0.96 1-0.2a c=0.72 a=8/0.72=11.3 Pm= arct(To c)-arctg(0.7o c)=-6 1+2=(-6°) (-aTo 故选用的串联滞后校正网络为 G=1s+1_1.25s+1 als+1 14Is+1 例6-9已知单位反馈系统传递函数 K (s)= s(S+1)(0.5s+1) 234

·234· 所以 0.071 1 0.283 1 1 1       s s Ts aTs Gc 例 6-8 设单位反馈系统的开环传递函数 ( 1)(0.2 1) ( )    s s s K G s 设计串联校正装置，满足 Kr=8rad/s， 0  (c )  40 。 解 Kr=8 v=1 得 K=8              0.2 8 20lg 8 20lg 8 20lg ( ) 2 L 5 1 5 1        解得 2.8 '  c   180  90   (0.1 )  ' 0 0 ' '  arctg c arctg  c       0 0 0 0 90 70.3 15.6 4.05 选用滞后校正系统 0 0  m  5 ~ 10 0.96 1 0.2 1.2 (0.2 ) 44 180 90 (0.2 ) 6 40 '' 2 '' '' '' 0 0 0 '' '' 0 0          c c c c c c arctg arctg arctg arctg       0.72 ''  c  a  8/ 0.72  11.3 1.25 ( 6 ) 1 (1 ) ( ) (0.7 ) 6 0 2 '' 2 '' '' '' 0          T tg aT a T arctg T arctg c c m c c      故选用的串联滞后校正网络为 14.1 1 1.25 1 1 1       s s aTs Ts Gc 例 6-9 已知单位反馈系统传递函数 ( 1)(0.5 1) ( )    s s s K G s

设计一串联校正网络,使校正后开环增益K=5,相位裕量γ*≥40°,幅值裕量 10dB :对于校正前的系统 L(O)= 20l l2 201g 3×0.5

·235· 设计一串联校正网络，使校正后开环增益 K=5，相位裕量 0  *  40 ，幅值裕量 H * g  10dB 。 解：对于校正前的系统              0.5 5 20lg 5 20lg 5 20lg ( ) 2 L 2 1 2 1        解得 2.9 ' c             ' 0 ' ' 0 ) 36.4 2 1 90 arctg c arctg( c 故选用串联滞后校正网络G (s) c 进行校正。令 0  5 Gc  '' '' 0 0 0 '' '' 0 0 ) 45 2 1 ( ) 5 40 2 1 180 90 (        c c c c arctg arctg arctg arctg     得 0.56 ''  c  1 5 1 ''    c a a  9 0 ,, ,, ,, 0 tg(5 )  tg[arctg(T c )  arctg(aT c )  arctg(T c )  90 T=20.4 故选用的串联滞后校正网络为 180 1 20.4 1 ( )    s s G s 验证 Hg *            a a a 1 0.5 5 20lg 5 1 20lg 5 1 20lg 10 3 2 1    2 1 2 1 1 1 1        1  1.32