第4章线性系统的根轨迹法 φ例题解析 例4-1已知开环零极点分布如图4-1所示,试略绘出相应的闭环根轨迹图 图4-1 解:所求的闭环根轨迹如图4-2所示,其中粗实线表示闭环根轨迹
·83· 第 4 章 线性系统的根轨迹法 例题解析 例 4-1 已知开环零极点分布如图 4-1 所示，试略绘出相应的闭环根轨迹图。 图 4-1 解：所求的闭环根轨迹如图 4-2 所示，其中粗实线表示闭环根轨迹
图4-2 例4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为: K (0.2s+1)(0.5s+1) 试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 s(0.2s+1)0.5s+1)s(s+5)(s+2) 令 K,=10K 下面绘制当K1从零变到无穷大时的闭环根轨迹图 (1)根轨迹的起点就是开环传递函数的极点:P1=0,P2=-5,P3=-2。 (2)依据幅角条件可确定实轴上的根轨迹为0→>-2和-5→>-∞段。 (3)计算分离点: s(S+5(s+2 s(s+5s+2)+K1=0 K1=-s(S+5S+2)=-(s+7s2+10) 令 0 ds 3.78(舍去 所以,分离点为s=-0.88。 (4)计算渐近线与实轴的交点: 2.3 渐近线与实轴的夹角: (k=0,±1,+2,…)
·84· 图 4-2 例 4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数为： (0.2 1)(0.5 1) ( ) s s s K G s 试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 解： ( 5)( 2) 10 (0.2 1)(0.5 1) ( ) s s s K s s s K G s 令 K1 10K 下面绘制当 K1 从零变到无穷大时的闭环根轨迹图。 （1）根轨迹的起点就是开环传递函数的极点： 0, 5, 2 p1 p2 p3 。 （2）依据幅角条件可确定实轴上的根轨迹为 0 2 和 5 段。 （3）计算分离点： ( 5)( 2) 0 0 ( 5)( 2) 1 1 1 s s s K s s s K ( 5)( 2) ( 7 10) 3 2 K1 s s s s s 令 0 1 ds dK 得： 3 14 10 0 s2 s 0.88, 3.78 s1 s2 （舍去） 所以，分离点为 s 0.88。 （4）计算渐近线与实轴的交点： 2.3 3 7 3 3 1 i i p 渐近线与实轴的夹角： 3 180 (2 1) k (k 0,1,2,)
所以,渐近线与实轴的夹角为±60°±180 (5)确定根轨迹与虚轴的交点: 闭环特征方程 s(s+2s+5)+K1 s3+7s2+10s+K1=0 令S=j@代入上式有: )3+7(jo)2+10(0)+K 整理得: K1-7o2)+(10-o3)j=0 令实部、虚部分别等于零,得方程组 「K,-72=0 解该方程组得 K=K1/10=7 依上面的分析,可绘出相应的根轨迹图,如 4-3所示 例4-3已知开环传递函数为 K G(S)H(s) 试概略画出闭环系统的根轨迹图。 解:(1)求根轨迹的起点与终点 +4s+20=0 4±√16-80 ±j4 根轨迹起于0、-4、-2+4、-2-j4,沿不同方向终止于无穷远处 (2)根轨迹有四条分支 (3)实轴上的根轨迹在[-40段
·85· 所以，渐近线与实轴的夹角为 60 ,180 。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点： 闭环特征方程： 7 10 0 ( 2)( 5) 0 1 3 2 1 s s s K s s s K 令 s j 代入上式有： ( ) 7( ) 10( ) 0 1 3 2 j j j K 整理得： ( 7 ) (10 ) 0 2 3 K1 j 令实部、虚部分别等于零，得方程组： 10 0 7 0 3 2 1 K 解该方程组得: 故 /10 7 K K1 依上面的分析，可绘出相应的根轨迹图，如 4-3 所示。 图 4-3 例 4-3 已知开环传递函数为： ( 4)( 4 20) ( ) ( ) 2 s s s s K G s H s 试概略画出闭环系统的根轨迹图。 解：（1）求根轨迹的起点与终点。 4 20 0 4 s s 2 4 2 4 16 80 1,2 s j 根轨迹起于 0、-4、-2＋j4、-2-j4，沿不同方向终止于无穷远处。 （2）根轨迹有四条分支。 （3）实轴上的根轨迹在[-4,0]段
(4)渐近线与负实轴的夹角为: p=±80(2k+ k=0时,φ=±45° k=1时,φ=±135 渐近线与负实轴的交点为 (5)求分离点。 闭环特征方程: s(S+4)(s-+4s+20)+K=0 +4)(s+4s+20) dK (s+2(s2+4s+10)=0 故分离点为:s1=-2,S2=-2+j245,s3=-2-j2.45 (6)求根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程 s(s+4)(s2+4+20)+K=0 s4+8s3+36s2+80s+K=0 令S=j,并代入上式,且实部等于零,得 4-36o2+K=0 虚部等于零,得: 由2)式得:a=0 C=0为根轨迹的起点 =±3为根轨迹与虚轴的交点。 与虚轴交点O=土√10处对应的K值的计算 由1)式得:K=3602-04=260
·86· （4）渐近线与负实轴的夹角为： n m k 180 (2 1) 1 135 0 45 时， ＝ 时， ＝ k k 渐近线与负实轴的交点为： 2 4 (0 4 2 4 2 4) j j （5）求分离点。 闭环特征方程： ( 4)( 4 20) 0 2 s s s s K ( 4)( 4 20) 2 K s s s s 令 0 ds dK ，得： ( 2)( 4 10) 0 2 s s s 故分离点为： 2, 2 2.45, 2 2.45 1 2 3 s s j s j 。 （6）求根轨迹与虚轴的交点。 闭环特征方程： ( 4)( 4 20) 0 2 s s s s K 8 36 80 0 4 3 2 s s s s K 令 s j ，并代入上式，且实部等于零，得： 36 0 4 2 K 1） 虚部等于零，得： 8 80 0 3 2） 由 2）式得： 0 10 3 0 为根轨迹的起点; 3为根轨迹与虚轴的交点。 与虚轴交点 10 处对应的 K 值的计算： 由 1）式得： 36 260 2 4 K
依据上述分析,可概略绘制根轨迹,如图4-4所示。 4-4 例4-4设系统的特征方程为:s3+as2+Ks+K=0。K由0→∞变化时,分别 确定使根轨迹有一个、两个和没有非零实数分离点的a值范围,并概略绘制根轨迹 解:因为特征方程为:s3+as2+Ks+K=0 所以 0 ds 非零实数分离点应满足 2s2+(a+3)s+2a=0 ±√a2-10a+9 显然,要使根轨迹只有一个非零分离点, 必须有:a2-10a+9=0 l;a=9 当a=9时,得 图4-5 渐近线与实轴交于0=-4 渐近线与实轴的夹角为:+900、-90° 分离点为-3。根轨迹如图45所示。 当a>9时,例如a=10,求得 根轨迹起于0,0,10 根轨迹终止于-1和无穷远点 根轨迹的渐近线与实轴的夹角为:900、-90; 轴上的根轨迹区间为:[-10,-1 根轨迹的分离点为:-2.5,-4。系统的根轨迹如图4-6所示。 当a<9时,例如a=5,求得 渐近线与实轴的交点为:-2 渐近线与实轴的夹角为:+90,-90°。此时,根轨迹没有非零分离点。 根轨迹如图4-7所示
·87· 依据上述分析，可概略绘制根轨迹，如图 4-4 所示。 例 4-4 设系统的特征方程为： 0 3 2 s as Ks K 。K 由0 变化时，分别 确定使根轨迹有一个、两个和没有非零实数分离点的 a 值范围，并概略绘制根轨迹。 解：因为特征方程为： 0 3 2 s as Ks K 所以 1 ( ) 1 3 2 2 s s s a s s as K 令 0 ds dK 得： 2 ( 3) 2 0 3 2 s a s as 非零实数分离点应满足： 2 ( 3) 2 0 2 s a s a 10 9 4 1 4 3 2 1,2 a a a s 显然，要使根轨迹只有一个非零分离点， 必须有： 10 9 0 2 a a 解 得 ： a 1;a 9 当 a 9时，得： 渐近线与实轴交于σ＝-4； 渐近线与实轴的夹角为：＋90 o、-90 o； 分离点为-3。根轨迹如图 4-5 所示。 当 a 9时，例如 a 10 ，求得： 根轨迹起于 0，0，10； 根轨迹终止于-1 和无穷远点； 根轨迹的渐近线与实轴的夹角为：90 o、-90 o； 实轴上的根轨迹区间为：[-10，-1]； 根轨迹的分离点为：-2.5，-4。系统的根轨迹如图 4-6 所示。 当 a 9时，例如 a 5，求得： 渐近线与实轴的交点为：-2； 渐近线与实轴的夹角为：＋90 o，-90 o。此时，根轨迹没有非零分离点。 根轨迹如图 4-7 所示。 图 4-4 图 4-5
图4-6 图4-7 由上述可知: a=9时,根轨迹有一个非零实数分离点 a>9时,根轨迹有两个非零实数分离点 0<a<9时,根轨迹没有非零实数分离点。 例4-5闭环反馈系统的特征方程是1 ks(s+ 4) 0 s2+2s+2 (1)画根轨迹; (2)计算当两个根相等时k的值 解:(1)画根轨迹 a)有两条根轨迹分别起始于开环极点一1土j处,终止于开环零点-4和原点处。 b)求出射角 b4=180°+145°+ar 235°+1843°=25343 c)求分离与汇合点 P(s)=s2+4s Q(s)=s2+2s+2 代入方程PQ-PQ′=0 有 2s-4=0 2±√4+ √5 于是,汇合点为-124 图4-8
·88· 图 4-6 图 4-7 由上述可知： a 9时，根轨迹有一个非零实数分离点； a 9时，根轨迹有两个非零实数分离点； 0 a 9 时，根轨迹没有非零实数分离点。 例 4-5 闭环反馈系统的特征方程是 0 2 2 ( 4) 1 2 s s ks s （1）画根轨迹； （2）计算当两个根相等时 k 的值。 解:（1）画根轨迹 a) 有两条根轨迹,分别起始于开环极点－1±j 处，终止于开环零点－4 和原点处。 b) 求出射角 235 18.43 253.43 90 3 1 180 145 arctan d c）求分离与汇合点 ( ) 2 2 ( ) 4 2 2 Q s s s P s s s 代入方程 PQ PQ 0 有 1 5 2 2 4 16 2 4 0 1,2 2 s s s 于是，汇合点为 -1.24。 图 4-8
根轨迹如图4-8所示。 s2+2s+ (2)由幅值条件知k 将s=1.24代入得k=028 例4-6单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)= s2(025s+1) 画出κ从0→>∞变化时闭环系统的根轨迹并确定闭环系统稳定时K的取值范围 解:G()=32K(s+05) s2(s+4) 渐进线 2.5 2 (2k+1)丌 4-1±00,1800 25、米 与虚轴交点 D(s)=s2(s+4)2+32K(s+0.5) 图4-9 s+8s3+16s2+32Ks+16K im[D(o)=-8o3+32KO=0 Re[D(o)=o-1602+16K=0 解出K=3 画岀根轨迹如图49所示。由根轨迹及计算结果可以确定K的稳定范围是 例4-7单位负反馈系统的开环传递函数为 K (s-1(s2+6s+10) 画出当κ*由0→∞变化时,闭环系统的根轨迹,并确定闭环系统稳定时K*的取值范围
·89· 根轨迹如图 4-8 所示。 (2)由幅值条件知 4 2 2 2 s s s s k 将 s=-1.24 代入得 k=0.288 例 4-6 单位负反馈系统的开环传递函数为 2 2 (0.25 1) (2 1) ( ) s s K s G s 画出 K 从0 变化时闭环系统的根轨迹,并确定闭环系统稳定时 K 的取值范围. 解： 2 2 ( 4) 32 ( 0.5) ( ) s s K s G s 渐进线 0 0 60 ,180 4 1 (2 1) 2.5 4 1 2 ( 4) 0.5 k a a 与虚轴交点 s s s Ks K D s s s K s 8 16 32 16 ( ) ( 4) 32 ( 0.5) 4 3 2 2 2 令 Re[ ( )] 16 16 0 Im[ ( )] 8 32 0 4 2 3 D j K D j K 解出 K=3 = 2 3 画出根轨迹如图 4-9 所示。由根轨迹及计算结果可以确定 K 的稳定范围是 0<K<3 例 4-7 单位负反馈系统的开环传递函数为 ( 1)( 6 10) * ( ) 2 s s s K G s 画出当 K*由0 变化时,闭环系统的根轨迹,并确定闭环系统稳定时 K*的取值范围. 图 4-9
渐进线 =(-3-3)/3 +1)丌 分离点 d-1d+3 整理得 +10d+4=0 解出 相应的K*值是 图4-10 Ka=1-1d1+3+川|d1+3-小 4.023 Ka2=1d2-1d2+3+12+3-1=1088 与虚轴的交点 D(s)=s3+5s2+4s+K*-10 [D(o) 4a=0 令 ReD(o)=-502+K*-10=0 画出根轨迹如图4-10所示。由根轨迹可确定使系统稳定的K*取值范围为: 例4-8正反馈系统的开环传递函数 G(SH(S) (s+1)2(s+4)2 当K:0→∞时,绘制系统的根轨迹
·90· 解： ( 1)( 3 )( 3 ) * ( ) s s j s j K G s 渐进线 0 0 60 ,180 3 (2 1) 3 5 (1 3 3)/ 3 k a a 分离点 0 3 1 3 1 1 1 d d j d j 整理得 3 10 4 0 2 d d 解出 2.8685 0.4648 1 2 d d 相应的 K*值是 1 3 3 10.88 1 3 3 4.023 2 2 2 2 1 1 1 1 K d d j d j K d d j d j d d 与虚轴的交点 ( ) 5 4 * 10 3 2 D s s s s K 令 Re[ ( )] 5 * 10 0 Im[ ( )] 4 0 2 3 D j K D j 解出 * 10 0 1 1 K * 30 2 2 2 K 画出根轨迹如图 4-10 所示。由根轨迹可确定使系统稳定的 K*取值范围为： 10<K*<30 例 4-8 正反馈系统的开环传递函数 1 ( 1) ( 4) ( ) ( ) 2 2 s s K G s H s 当 K : 0 时，绘制系统的根轨迹。 图 4－10
因为 K (S+1)(S+4) 所以,系统根轨迹需按0根轨迹规则进行绘制 四个开环极点-1,-1,-4,-4为根轨迹的起点 无有限零点,因而四条根轨迹趋于无穷远处 四条渐近线与实轴的交点 四条渐近线与实轴的夹角: p2=90° =180 根轨迹在实轴上的分离点 K=(s+1)2(s+4)2 dK 令 求得:分离点为-25。 根轨迹与虚轴的交点 因 K (s+1)(s+4) s4+10s3+33s2+40s+16-K=0 将S=JO代入,得: -300-+(16-K)=0 10a3+40=0 由2)式得: 0 23=±2(不合理,舍去) 将=0代入1)式,求得: K=16
·91· 解：因为 1 ( 1) ( 4) 2 2 s s K 所以，系统根轨迹需按 0 o根轨迹规则进行绘制。 四个开环极点-1，-1，-4，-4 为根轨迹的起点； 无有限零点，因而四条根轨迹趋于无穷远处。 四条渐近线与实轴的交点： 2.5 4 ( 1 1 4 4) 四条渐近线与实轴的夹角： 90 180 90 0 4 3 2 1 根轨迹在实轴上的分离点： 2 2 K (s 1) (s 4) 令 0 ds dK 求得：分离点为-2.5。 根轨迹与虚轴的交点： 因 0 ( 1) ( 4) 1 2 2 s s K 10 33 40 16 0 4 3 2 s s s s K 将 s j 代入，得： 10 40 0 30 (16 ) 0 3 4 2 K 2) 1) 由 2）式得： 1 0 ； 2,3 2 （不合理，舍去） 将 0 代入 1）式，求得： K 16
开环增益的值: 图4 开环增益小于1,闭环系统稳定。根轨迹见图4-11所示。 例4-9设单位反馈系统的开环传递函数为 G(s) 试绘制K和a从零变到无穷大时的根轨迹簇。当K=4时绘出为参变量变化的根轨迹 解:闭环特征方程 +as+K=0 将上式改写为: 1+ K 开环传递函数 s"+K s(s+a) 具有同样的闭环特征方程 当K为定值时,研究:a:0→∞时的根轨迹 对于s2+as+K=0 令S=σ+J代入,得: 04+o--2joo+ao jao+K=0 令实部、虚部分别为零,得: 6+K=0 0 由4)式得 将a代入3)式,并整理得: a2-2-22+K=0 可见,这是一个圆的方程,圆形(0,j0) 半径√K as ,根轨迹的起点是开环传递函数2+K 的极点,即: ±√K 根轨迹的终点:0和无穷远处。 整个负实轴是根轨迹 依上述可绘制根轨迹簇(令K为不同的值) 根轨迹簇如图4-12所示 图4-1 例4-10已知单位反馈系统的开环传递函数为
·92· 开环增益的值： 1 16 K 开环增益小于 1，闭环系统稳定。根轨迹见图 4-11 所示。 例 4-9 设单位反馈系统的开环传递函数为： ( ) ( ) s s a K G s 试绘制 K 和 a 从零变到无穷大时的根轨迹簇。当 K 4时绘出为参变量变化的根轨迹。 解：闭环特征方程： 0 2 s as K 1) 将上式改写为： 1 0 2 s K as 2) 开环传递函数 s K as 2 与 s(s a) K 具有同样的闭环特征方程。 当 K 为定值时，研究： a : 0 时的根轨迹。 对于 0 2 s as K 令 s j 代入，得： 2 0 2 2 j a ja K 令实部、虚部分别为零，得： 2 0 0 2 2 a a K 4) 3) 由 4）式得： a 2 将 a 代入 3）式，并整理得： 2 0 2 2 2 K 2 2 2 ( K ) 可见，这是一个圆的方程，圆形（0，j0）， 半径 K 。 又，根轨迹的起点是开环传递函数 s K as 2 的极点，即： s K j 根轨迹的终点：0 和无穷远处。 整个负实轴是根轨迹。 依上述可绘制根轨迹簇（令 K 为不同的值）。 根轨迹簇如图 4－12 所示。 例 4-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为： 图 4-11 图 4-12
