因为A,b不共线，所以A,B,C不全为零，这表明空间任一平面都可以用关于 x,y,2的三元一次方程来表示。 反过来，也可以证明，任一关于变元x,八，2的一次方程(3.1-10)都表示一 个平面.事实上，因为A,B,C不全为零，不失一般性，可设A≠0，那么 (3.1-10)可改写成 4(x+凸+ABy+4C2=0, A 即 D X+ B -A 0 =0, 0 M-P0,0) 显然，它表示由点 A 和两个不共线向量{B,-A,0}和{C,0,-A所 决定的平面，因此我们证明了关于空间中平面的基本定理： 定理3.1.1空间中任一平面的方程都可表示成一个关于变数x,y,2的一 次方程；反过来，每一个关于变数x,,2的一次方程都表示一个平面. 方程(3.1-10)叫做平面的一般方程. 现在来讨论(3.1-10)的几种特殊情况，也就是当(3.1-10)中的某些系 数或常数项等于零时，平面对坐标系来说具有某种特殊位置的情况. 1°D=0,(3.1-10)变为Ax+By+C2=0,此时原点(0,0,0)满足 方程，因此平面通过原点：反过来，如果平面(3.1-10)通过原点，那么显然 有D=0 2°A,B,C中有一为零，例如C=0,(3.1-10)就变为 Ax+By+D=0. 当D≠0时，2轴上的任意(0,0,2)都不满足方程，所以平面与z轴平行：而 当D=0时，z轴上的每一点都满足方程，这时z轴在平面上，即平面通过z 轴，反过来容易知道，当平面(3.1-10)平行于z轴时D≠0，C=0:当 (3.1-10)通过z轴时，D=C=0 对于A=0或B=0的情况，可以得出类似的结论. 因此，由1°与2°我们有： 当且仅当D=0,平面(3.1-10)通过原点