3 4 故沿方向6=6而+6而+而的方向导数为 5 r△b aΨ 64x225x2y e-暖++元 点(2,3,1)处沿e,的方向导数值为 0Ψ_361660_112 花 l5o5050√50 1.21试采用与推导直角坐标中 4=4+4+4相似的方法推导圆柱坐标下的公式 题1.21图 A,8A. V.4-(A.) 解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿e,方向穿出该六面体的表面 的通量 (r+A)4(+)r4((r4)ArAM=1004Ar ar r or 同理 g=了f4 drd:-了了4ldrd: [AG9+A4,少A04NL*AL=Ar g=drd4-了了4 .rdrde- r+0+A0 L:+A)-Ara处是rwa-是ar 因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为 ”=9,+y,+g.8+A+04]Az 故得到圆柱坐标下的散度表达式7·A=m△：，+r0正 Ψ_1ar4)aAa4 1以方程一号若+号给面一数。求表上任金点的净包法的天品 解由于 2z 故沿方向 3 4 5 50 50 50 e e e e l x y z = + + 的方向导数为 2 2 6 4 5 50 50 50 l xyz x z x y l    =  = + +  e 点 (2,3,1) 处沿 l e 的方向导数值为 36 16 60 112 l 50 50 50 50  = + + =  1.21 试采用与推导直角坐标 中 x y z A A A x y z     = + +    A 相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1 ( ) z r A A rA r r r z       = + +    A 。 解 在圆柱坐标中，取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场 A 沿 r e 方向穿出该六面体的表面 的通量为 ( )d d d d z z z z r r r r r r z z A r r r A r r          + + + + = +  −      +  [( ) ( , , ) ( , , )] r r r r A r r z rA r z z +  +  −       ( ) ( ) 1 r r rA rA r z r r r        =    同理 d d d d r r z z r r z z r z r z A r z A r z       + + + + = −      +  [ ( , , ) ( , , )] A r z A r z r z      +  −    A A r z r            =    d d d d r r r r z z z z z z r r A r r A r r          + + + + = −      +  [ ( , , ) ( , , )] A r z z A r z r r z z z    +  −     A A z z r r z z z        =    因此，矢量场 A 穿出该六面体的表面的通量为 1 ( ) [ ] r z r z rA A A Ψ Ψ Ψ Ψ r r r z        = + +  + +     故得到圆柱坐标下的散度表达式 0 1 ( ) lim r z rA A A r r r z     →       = = + +     A 1.22 方程 2 2 2 2 2 2 x y z u a b c =++ 给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 解 由于 2 2 2 2 2 2 x y z x y z u a b c  = + + e e e r r z o x y  r z  z 题 1.21 图