一章习题解答 1.1给定三个矢量A、B和C如下： A=e,+e,2-e.3 B=-e,4+e C=e5-e.2 求：(1)a4:(2)A-B:(3)AB:(4)OB:(5)A在B上的分量：(6)A×C: (7)A(B×C)和(A×B)C:(8)(A×B)×C和A×(B×C)。 A-e+e,2-e3 2 3 解0a丙+2+家6而府e (2)4-周=le+e,2-e3)-(-e,4+e:=le+e,6-e.4-5因 (3)AB=(e+e,2-e.3)(-e,4+e)=-ll 4由c8-8而-成将0.=as高=3s5 A.B -11 11 4B=- 5A在B上的分量A。=4cos8m=B=-而 eses e (6)A×C=12-3=-e,4-e,13-e.10 50-2 e,e,e. (7)由于B×C=0-41=e8+e,5+e.20 50-2 ex ey e: A×B=12-3=-e10-e,1-e.4 0-41 所以 A(B×C)=(e.+e,2-e.3(e8+e,5+e.20)=-42 (A×B)C=(-e,10-e,1-e.4)♪(e5-e.2)=-42 exex e: (8)(A×B)×C=-10-1-4=e,2-e,40+e5 50-2 es ey e: A×(B×C)=12-3=e,55-e,44-e.11 8520
一章习题解答 1.1 给定三个矢量 A 、 B 和 C 如下： 2 3 A e e e = + − x y z 4 B e e = − + y z 5 2 C e e = − x z 求：（1） A a ；（2） A B− ；（3） AB ；（4） AB ；（5） A 在 B 上的分量；（6） A C ； （7） A B C ( ) 和 ( ) A B C ；（8） ( ) A B C 和 A B C ( ) 。 解 （1） 2 2 2 2 3 1 2 3 1 2 ( 3) 14 14 14 x y z A x y z + − = = = + − + + − A e e e a e e e A （2） A B− = ( 2 3) ( 4 ) e e e e e x y z y z + − − − + = 6 4 53 e e e x y z + − = （3） A B = ( 2 3) e e e x y z + − ( 4 ) − + = y z e e －11 （4）由 cos AB = 11 11 14 17 238 − = = − A B A B ，得 1 cos AB − = 11 ( ) 135.5 238 − = （5） A 在 B 上的分量 AB = A cos AB = 11 17 = − A B B （6） A C = 1 2 3 5 0 2 x y z − = − e e e 4 13 10 − − − x y z e e e （7）由于 B C = 0 4 1 5 0 2 x y z − = − e e e 8 5 20 e e e x y z + + A B = 1 2 3 0 4 1 x y z − = − e e e 10 1 4 − − − x y z e e e 所以 A B C ( ) = ( 2 3) e e e x y z + − ( 8 5 20) 42 e e e x y z + + = − ( ) A B C = ( 10 1 4) − − − x y z e e e ( 5 2) 42 e e x z − = − （8） ( ) A B C = 10 1 4 5 0 2 x y z − − − = − e e e 2 40 5 e e e x y z − + A B C = ( ) 1 2 3 8 5 20 x y z − = e e e 55 44 11 e e e x y z − −
1.2三角形的三个顶点为P0,1,-2)、B(41,-3)和P(6,2,5)。 (1)判断△PDP是否为一直角三角形： (2)求三角形的面积。 解(1)三个顶点(0,1，-2)、P(4,L,-3)和P(6,2,5)的位置矢量分别为 5=e,-e.2,5=e,4+e,-e3,5=e6+e,2+e5 R2=5-5=e4-e, R,=5-5=e2+e,+e.8, R1=r-5=-e6-e,-e.7 由此可见 R2Rs=(e4-e)(e2+e,+e.8)=0 故△PP,P为一直角三角形。 （2)三角形的面积S=R:×R=)R×R=)7xV6=17.13 1.3求P'(-3,1,4)点到P(2,-2,3)点的距离矢量R及R的方向。 解rr=-e3+e,+e.4,rp=e2-e,2+e.3, 则 Rpp rp-rp=e5-e,3-e: 且Rp与x、y、:轴的夹角分别为 =s)=s房23r 5 RPl =w=w房=i07 -3 =6s)=s(宽=973 1.4给定两矢量A=e,2+e,3-e.4和B=e,4-e,5+e.6,求它们之间的夹角和A在 B上的分量。 -31 解A与B之间的夹角为0s=cs4B}=cos2列Xy方131 B-31 1在B上的分量为4=小因房-352 1.5给定两矢量A=e2+e,3-e.4和B=-e6-e,4+e.,求A×B在C=e-e,+e 上的分量 es es e. 解A×B=23-4=-e,13+e22+e.10 -6-41 48C8为d8C-点-4 1.6证明：如果AB=AC和A×B=A×C,则B=C:
1.2 三角形的三个顶点为 1P(0,1, 2) − 、 2 P (4,1, 3) − 和 3P (6,2,5) 。 （1）判断 PP P 1 2 3 是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解 （1）三个顶点 1P(0,1, 2) − 、 2 P (4,1, 3) − 和 3P (6,2,5) 的位置矢量分别为 1 2 = − y z r e e ， 2 4 3 = + − x y z r e e e ， 3 6 2 5 = + + x y z r e e e 则 12 2 1 4 R r r e e = − = − x z ， 23 3 2 2 8 R r r e e e = − = + + x y z ， 31 1 3 6 7 R r r e e e = − = − − − x y z 由此可见 12 23 ( 4 ) ( 2 8) 0 R R e e e e e = − + + = x z x y z 故 PP P 1 2 3 为一直角三角形。 （2）三角形的面积 12 23 12 23 1 1 1 17 69 17.13 2 2 2 S = = = = R R R R 1.3 求 P( 3,1, 4) − 点到 P(2, 2,3) − 点的距离矢量 R 及 R 的方向。 解 3 4 r e e e P x y z = − + + ， 2 2 3 r e e e P x y z = − + ， 则 5 3 R r r e e e P P P P x y z = − = − − 且 RPP 与 x、 y 、 z 轴的夹角分别为 1 1 5 cos ( ) cos ( ) 32.31 35 x P P x P P − − = = = e R R 1 1 3 cos ( ) cos ( ) 120.47 35 y P P y P P − − − = = = e R R 1 1 1 cos ( ) cos ( ) 99.73 35 z P P z P P − − = = − = e R R 1.4 给定两矢量 2 3 4 A e e e = + − x y z 和 4 5 6 B e e e = − + x y z ，求它们之间的夹角和 A 在 B 上的分量。 解 A 与 B 之间的夹角为 1 1 31 cos ( ) cos ( ) 131 29 77 − − − = = = AB A B A B A 在 B 上的分量为 31 3.532 77 AB − = = = − B A B 1.5 给定两矢量 2 3 4 A e e e = + − x y z 和 6 4 B e e e = − − + x y z ，求 A B 在 C e e e = − + x y z 上的分量。 解 A B = 2 3 4 6 4 1 x y z − = − − e e e 13 22 10 − + + x y z e e e 所以 A B 在 C 上的分量为 ( ) A B = C ( ) 25 14.43 3 = − = − A B C C 1.6 证明：如果 AB = AC 和 A B = A C ，则 B C= ；
解由A×B=AxC,则有A×(A×B)=A×(A×C),即 (A-B)A-(A-A)B=(A-C)A-(A-A)C 由于AB=AC,于是得到（小A)B=(AA)C 故 1.7如果给定一未知矢量与一己知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。 设A为一已知矢量，p=AX而P=A×X,p和P已知，试求X。 解由P=A×X,有 A×P=A×(A×X)=(AX)A-(AA)X=pA-(AA0X 故得 X=PA-AxP A 18在圆柱坐标中，一点的位置由(4号，3)定出，求该点在：《(D直角坐标中的坐标： (2)球坐标中的坐标。 解(1)在直角坐标系中x=4cos(2π/3)=-2、y=4sin(2π/3)=2√5、z=3 故该点的直角坐标为(-2,2√5,3)· (2)在球坐标系中r=V4F+3=5、0=an'(4/3)=53.P、中=2/3=120 故该点的球坐标为(5,53.1°，120) 19用球坐标表示的场E=e, 25 (1)求在直角坐标中点(-3,4，-5)处的E和E,: (2)求在直角坐标中点(-3,4，-)处E与矢量B=e,2-e2+e.构成的夹角。 解(1)在直角坐标中点(-3,4，-5)处，r2=(-3)2+42+(-5)2=50,故 k斗 -332 E,=e,E=Ecos8.-255-20 (2)在直角坐标中点(-3,4，-5)处，r=-e,3+,4-e.5,所以 10√2 故E与B构成的夹角为 8.=m学8-w1982=156 E.B 3/2 1.10球坐标中两个点(G,日，4)和(5，日2,4)定出两个位置矢量R和R。证明R和R 间夹角的余弦为 cosy=cose cos,+sin sine cos() 解由R,=e,isin0cos4+e,5 sinsin4+e.r cos0, R =e sine,cose,sin&,sine cos
解 由 A B = A C ，则有 A A B A A C = ( ) ( ) ，即 ( ) ( ) ( ) ( ) A B A A A B A C A A A C −=− 由于 AB = AC ，于是得到 ( ) ( ) A A B A A C = 故 B C= 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。 设 A 为一已知矢量， p = A X 而 P A X = ， p 和 P 已知，试求 X 。 解 由 P A X = ，有 A P A A X A X A A A X A A A X = = − = − ( ) ( ) ( ) ( ) p 故得 p − = A A P X A A 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由 2 (4, ,3) 3 定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标； （2）球坐标中的坐标。 解 （1）在直角坐标系中 x = = − 4cos(2 3) 2 、 y = = 4sin(2 3) 2 3 、 z = 3 故该点的直角坐标为 ( 2, 2 3,3) − 。 （2）在球坐标系中 2 2 r = + = 4 3 5、 1 tan (4 3) 53.1 − = = 、 = = 2 3 120 故该点的球坐标为 (5,53.1 ,120 ) 1.9 用球坐标表示的场 2 25 r r E e = ， （1）求在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处的 E 和 E x ； （2）求在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处 E 与矢量 2 2 B e e e = − + x y z 构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处， 2 2 2 2 r = − + + − = ( 3) 4 ( 5) 50 ，故 2 25 1 2 r r E e = = 1 3 3 2 cos 2 20 5 2 E x x rx − = = = = − e E E （2）在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处， 3 4 5 = − + − x y z r e e e ，所以 2 3 25 25 3 4 5 10 2 x y z r r − + − = = = r e e e E 故 E 与 B 构成的夹角为 1 1 19 (10 2) cos ( ) cos ( ) 153.6 3 2 − − EB = = − = E B E B 1.10 球坐标中两个点 1 1 1 ( , , ) r 和 2 2 2 ( , , ) r 定出两个位置矢量 R1 和 R2 。证明 R1 和 R2 间夹角的余弦为 1 2 1 2 1 2 cos cos cos sin sin cos( ) = + − 解 由 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin cos sin sin cos x y z R e e e = + + r r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin sin cos x y z R e e e = + + r r r
得到 sin cos sine cos+sine sin sinsin+coscos= sine sin (cosd cos+sind sin )+cose cos= sinsin.cos()+coscos 1.11一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：小(e,3sin)dS的值 f(c.3sinde,3sineddej3sinox sinodo7 00 1.12在由r=5、:=0和：=4围成的圆柱形区域，对矢量A=e,r2+e.2:验证散度定 理。 解在圆柱坐标系中 所以 fv.Adr-jd-jdgj@r+2rdr-1200m Ads-(er+e.2=)e,dS,+e,dS,+e.dS.)= x5dd+2x4rdrde-1200 故有 [V.Adr=l200π=fdS 1l3求(1)矢量A=e,2+e,xy2+e.24x2y:2的散度：(2)求7.A对中心在原点的 一个单位立方体的积分：(3)求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解4D.A-0r+0r)+24ry-2x+2ry+72ry: (2)了，A对中心在原点的一个单位立方体的积分为 [V.Adr= 9fx2dynyzxdy 2-/ (3)A对此立方体表面的积分 V22 ∮Ads=∫}dyd-∫了dyd+ 2 f 2x(Ydxd=-5 f2x(-Ydxd+
得到 1 2 1 2 cos = = R R R R 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos + + = 1 2 1 2 1 1 2 1 2 sin sin (cos cos sin sin ) cos cos + + = 1 2 1 2 1 2 sin sin cos( ) cos cos − + 1.11 一球面 S 的半径为 5 ，球心在原点上，计算： ( 3sin ) d r S e S 的值。 解 ( 3sin ) d ( 3sin ) d r r r S S = = S e S e e 2 2 2 0 0 d 3sin 5 sin d 75 = 1.12 在由 r = 5、 z = 0 和 z = 4 围成的圆柱形区域，对矢量 2 2 r z A e e = + r z 验证散度定 理。 解 在圆柱坐标系中 1 2 ( ) (2 ) 3 2 rr z r r r z = + = + A 所以 4 2 5 0 0 0 d d d (3 2) d 1200 z r r r = + = A 又 2 d ( 2 ) ( d d d ) r z r r z z S S r z S S S A S e e e e e = + + + = 4 2 5 2 2 0 0 0 0 5 5d d 2 4 d d 1200 z r r + = 故有 d 1200 = A d S = A S 1.13 求（1）矢量 2 2 2 2 2 3 24 x y z A e e e = + + x x y x y z 的散度；（2）求 A 对中心在原点的 一个单位立方体的积分；（3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解 （1） 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 ( ) ( ) (24 ) 2 2 72 x x y x y z x x y x y z x y z = + + = + + A （2） A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 d (2 2 72 )d d d 24 x x y x y z x y z −−− = + + = A （3） A 对此立方体表面的积分 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 d ( ) d d ( ) d d 2 2 S y z y z − − − − = − − + A S 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( ) d d 2 ( ) d d 2 2 x x z x x z − − − − − − + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 24 ( ) d d 24 ( ) d d 2 2 24 x y x y x y x y − − − − − − =
故有 ∫.Adr==∮Ads 24 分。 1,14计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求了r对球体积的积 frdS=fre,dS=「dp[aa2sin0d0=4πa 又在球标系中，wc列=3，所慰 [Vrdr=[[[3r2sinedrdodd=4na' 000 1.15求矢量A=e,x+e,x2+ey:沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分 此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求V×A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托 克斯定理。 解 fAdl=「xdx-「xdx+「22dy-「0dy=8 e,e,e. V×A= =e,2y+e.2x x x2 v2 所以 ∫×Ads=jfe.2z+e.2re.drdy=8 故有 ∮4dl=8=∫v×Ads 1.16求矢量A=e,x+e,y2沿圆周x2+y2=a2的线积分，再计算V×A对此圆面积的积 分。 解 Adxdx+dy=(-cossinacossinda 4 x4s-e层-eas=pPds-j产sd=g 8A,dA. 1.17证明：(1)VR=3:(2)V×R=0:(3)(小R)=A。其中R=ex+e,y+e A为一常矢量。 解1)R=++产=3
故有 1 d 24 = A d S = A S 1.14 计算矢量 r 对一个球心在原点、半径为 a 的球表面的积分，并求 r 对球体积的积 分。 解 2 2 3 0 0 d d d sin d 4 r S S S aa a = = = r S r e 又在球坐标系中， 2 2 1 ( ) 3 r r r r = = r ，所以 2 2 3 0 0 0 d 3 sin d d d 4 a r r a = = r 1.15 求矢量 2 2 x y z A e e e = + + x x y z 沿 xy 平面上的一个边长为 2 的正方形回路的线积分， 此正方形的两边分别与 x 轴和 y 轴相重合。再求 A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托 克斯定理。 解 2 2 2 2 2 0 0 0 0 d d d 2 d 0d 8 C = − + − = x x x x y y A l 又 2 2 2 2 x y z x z yz x x y z x x y z = = + e e e A e e 所以 2 2 0 0 d ( 2 2 ) d d 8 x z z S = + = yz x x y A S e e e 故有 d 8 C = A l d S = A S 1.16 求矢量 2 x y A e e = +x xy 沿圆周 2 2 2 x y a + = 的线积分，再计算 A 对此圆面积的积 分。 解 2 d d d C C = + = x x xy y A l 2 4 2 4 2 2 0 ( cos sin cos sin )d 4 a a a − + = d ( ) d y x z z S S A A S x y = − = A S e e 2 4 2 2 2 0 0 d sin d d 4 a S a y S r r r = = 1.17 证明：（1） = R 3 ；（2） = R 0 ；（3） = ( ) A R A 。其中 x y z R e e e = + + x y z ， A 为一常矢量。 解 （1） 3 x y z x y z = + + = R
ex e,e. (2) V×R=a可a =0 x yy (3)设A=eA+e,A,+e.A,则小R=Ax+Ay+Az,故 V(A-R)=e(4x+4y+A)+e,(+y+A)+ e24+4+4=)=64+e,4+e4=A 1.18一径向矢量场F=e,f)表示，如果又.F=0,那么函数f)会有什么特点呢？ 解在圆柱坐标系中，由 v.( 可得到 nn-c C为任意常数。 在球坐标系中，由 r2f1=0 V.F-d 可得到 m-9 1.19给定矢量函数E=ey+e,x,试求从点P(2,1,-)到点(82，-1)的线积分 「Edl:(1)沿抛物线x=y2:(2)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？ 解I)∫Edl=jEdx+E,dy=jydx+xdy= yd(2y2)+2y2dy=6y'dy=14 (2)连接点B(2,1,-1)到点(82，-)直线方程为 x-2_x-8 y-1y-2 即 x-6y+4=0 故∫Edl=∫E,dx+E,dy=∫yd(6y-4)+(6y-4)dy=「12y-4)dy=14 由此可见积分与路径无关，故是保守场。 1,20求标量函数少=：的梯度及Ψ在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量 巴而+北而+e而定出：求2,3，点的方向导数值。 3 4 5 解 e,2xyz+e,x'=+e.x'y
（2） x y z x y z x y y = = e e e R 0 （3）设 A e e e = + + x x y y z z A A A ，则 A R = + + A x A y A z x y z ，故 ( ) ( ) ( ) x x y z y x y z A x A y A z A x A y A z x y = + + + + + + A R e e ( ) z x y z A x A y A z z + + = e e e e A x x y y z z A A A + + = 1.18 一径向矢量场 ( ) r F e = f r 表示，如果 = F 0 ，那么函数 f r( ) 会有什么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 1 d [ ( )] 0 d rf r r r = = F 可得到 ( ) C f r r = C 为任意常数。 在球坐标系中，由 2 2 1 d [ ( )] 0 d r f r r r = = F 可得到 2 ( ) C f r r = 1.19 给定矢量函数 x y E e e = +y x ，试求从点 1P(2,1, 1) − 到点 2P (8,2, 1) − 的线积分 d E l ：（1）沿抛物线 2 x y = ；（2）沿连接该两点的直线。这个 E 是保守场吗？ 解 （1） d d d x y C C = + = E x E y E l d d C y x x y + = 2 2 2 1 y y y y d(2 ) 2 d + = 2 2 1 6 d 14 y y = （2）连接点 1P(2,1, 1) − 到点 2P (8,2, 1) − 直线方程为 2 8 1 2 x x y y − − = − − 即 x y − + = 6 4 0 故 2 1 d d d d(6 4) (6 4)d x y C C = + = − + − = E x E y y y y y E l 2 1 (12 4)d 14 y y − = 由此可见积分与路径无关，故是保守场。 1.20 求标量函数 2 = x yz 的梯度及 在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量 3 4 5 50 50 50 e e e x y z + + 定出；求 (2,3,1) 点的方向导数值。 解 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y z x yz x yz x yz x y z = + + = e e e 2 2 2 x y z e e e xyz x z x y + +
3 4 故沿方向6=6而+6而+而的方向导数为 5 r△b aΨ 64x225x2y e-暖++元 点(2,3,1)处沿e,的方向导数值为 0Ψ_361660_112 花 l5o5050√50 1.21试采用与推导直角坐标中 4=4+4+4相似的方法推导圆柱坐标下的公式 题1.21图 A,8A. V.4-(A.) 解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿e,方向穿出该六面体的表面 的通量 (r+A)4(+)r4((r4)ArAM=1004Ar ar r or 同理 g=了f4 drd:-了了4ldrd: [AG9+A4,少A04NL*AL=Ar g=drd4-了了4 .rdrde- r+0+A0 L:+A)-Ara处是rwa-是ar 因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为 ”=9,+y,+g.8+A+04]Az 故得到圆柱坐标下的散度表达式7·A=m△：，+r0正 Ψ_1ar4)aAa4 1以方程一号若+号给面一数。求表上任金点的净包法的天品 解由于 2z
故沿方向 3 4 5 50 50 50 e e e e l x y z = + + 的方向导数为 2 2 6 4 5 50 50 50 l xyz x z x y l = = + + e 点 (2,3,1) 处沿 l e 的方向导数值为 36 16 60 112 l 50 50 50 50 = + + = 1.21 试采用与推导直角坐标 中 x y z A A A x y z = + + A 相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1 ( ) z r A A rA r r r z = + + A 。 解 在圆柱坐标中，取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场 A 沿 r e 方向穿出该六面体的表面 的通量为 ( )d d d d z z z z r r r r r r z z A r r r A r r + + + + = + − + [( ) ( , , ) ( , , )] r r r r A r r z rA r z z + + − ( ) ( ) 1 r r rA rA r z r r r = 同理 d d d d r r z z r r z z r z r z A r z A r z + + + + = − + [ ( , , ) ( , , )] A r z A r z r z + − A A r z r = d d d d r r r r z z z z z z r r A r r A r r + + + + = − + [ ( , , ) ( , , )] A r z z A r z r r z z z + − A A z z r r z z z = 因此，矢量场 A 穿出该六面体的表面的通量为 1 ( ) [ ] r z r z rA A A Ψ Ψ Ψ Ψ r r r z = + + + + 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0 1 ( ) lim r z rA A A r r r z → = = + + A 1.22 方程 2 2 2 2 2 2 x y z u a b c =++ 给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 解 由于 2 2 2 2 2 2 x y z x y z u a b c = + + e e e r r z o x y r z z 题 1.21 图
3停*+ 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 n费-化亭+6+/停+惊+ 1.23现有三个矢量A、B、C为 A=e,sin0cos+e cos0cos-e,sin B=e,='sing+e='coso+e.2rsing C=e.(3y2-2x)+e,x2+e.2z (1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表 示？ (2)求出这些矢量的源分布。 解(1)在球坐标系中 1a4 (rA.)+(sinA)+rsine ao- 是rsm0+,gbem0co:0cas)+,b品-sm0- 10 in0cos+ cos 2sinecos coso sin =0 r r e,reo rsinde Ia a VxA-singar 00 06 A,rAo rsinA er reo rsine。 1 0 a =0 r2sin -rsinesin 故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示： -,g 在圆柱坐标系中 ('sind)+100 18 -2sin单_子sin2+2 rsin=2rsin0 r
2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y z u abc = + + 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x y z u x y z x y z u a b c a b c = = + + + + n e e e 1.23 现有三个矢量 A 、 B 、C 为 sin cos cos cos sin A e e e = + − r 2 2 sin cos 2 sin r z z z rz B e e e = + + 2 2 (3 2 ) 2 x y z C e e e = − + + y x x z （1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表 示？ （2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中 2 2 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin r A r A A r r r r = + + = A 2 2 1 1 1 ( sin cos ) (sin cos cos ) ( sin ) sin sin r r r r r + + − = 2 cos 2sin cos cos sin cos 0 r r r r sin sin + − − = 2 sin 1 sin sin r r r r r r A rA r A = = e e e A 2 sin 1 0 sin sin cos cos cos sin sin r r r r r r r = − e e e 故矢量 A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示； 在圆柱坐标系中 1 1 ( ) z r B B rB r r r z + + = B = 1 1 2 2 ( sin ) ( cos ) (2 sin ) rz z rz r r r z + + = 2 2 sin sin 2 sin 2 sin z z r r r r − + =
reo e. er reo VxB= 品 a 80 =0 rar 80 0z r BrB。B 2sin rcos 2rsin 故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示： 直角在坐标系中 .c=℃+℃ 0C= dx oy r2-2x+ e es e. V×C= a d x =e.(2x-6y) 3y2-2xx22z 7,A=0,7×A=0: V,B=2 rsin,V×B=0: V.C=0,7×C=e.(2xr-6y) 1.24利用直角坐标，证明 V.(f)=fV.A+A.Vf 解在直角坐标中 4-尝影尝gg影 y 品)+U)+是U)-U网 1.25证明 V(A×H)=H.V×A-AV×H 解根据V算子的微分运算性质，有 V(A×H)=V,(A×H)+V(A×H) 式中V,表示只对矢量A作微分运算，V,表示只对矢量H作微分运算 由a(b×c)=c(a×b),可得 7(A×H)=H(T×A)=H(V×A) 同理 Va(A×H)=-A(Vg×H)=-A(V×H) 故有 V(A×H)=HV×A-AV×H 1.26利用直角坐标，证明
2 2 1 1 0 sin cos 2 sin r z r z r z r r r r z r r z B rB B z rz rz = = = e e e e e e B 故矢量 B 可以由一个标量函数的梯度表示； 直角在坐标系中 x y z C C C x y z + + = C = 2 2 (3 2 ) ( ) (2 ) 0 y x x z x y z − + + = 2 2 (2 6 ) 3 2 2 x y z z x y x y z y x x z = = − − e e e C e 故矢量 C 可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为 = A 0， = A 0 ； B = 2 sin r ， = B 0 ； = C 0， (2 6 ) z = − C e x y 1.24 利用直角坐标，证明 = + ( ) f f f A A A 解 在直角坐标中 ( ) ( ) x y z x y z A A A f f f f f f A A A x y z x y z + = + + + + + = A A ( ) ( ) ( ) x y z x y z A f f f A A f A f A f A x x y y z z + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) x y z fA fA fA f x y z + + = A 1.25 证明 = − ( ) A H H A A H 解 根据 算子的微分运算性质，有 ( ) ( ) ( ) = + A H A H A H A H 式中 A 表示只对矢量 A 作微分运算， H 表示只对矢量 H 作微分运算。 由 a b c c a b ( ) ( ) = ，可得 ( ) ( ) ( ) = = A A A H H A H A 同理 ( ) ( ) ( ) = − = − H H A H A H A H 故有 = − ( ) A H H A A H 1.26 利用直角坐标，证明
Vx(G)=fVxG+VfxG 解在直角坐标中 G=化告e竖*空号 2G,.0G】 ya正 所以 NVxG+WxG-e.lG.+/)-(G,+ dx a e1g.c+ec2.ac+ e)_aG1-vxo Ox dy 1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明V×(V)=0及 V(V×A)=0,试证明之。 解(1)对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S,由斯托克斯定理有 (VxVwrdS-fVudI-d-fdu-0 由于曲面S是任意的，故有 V×(V)=0 (2)对于任意闭合曲面S为边界的体积π，由散度定理有 「V(V×A)dr=④(V×A)dS=(V×A)dS+(VxA)dS 其中S和S,如题127图所示。由斯托克斯定理，有 [(×A)dS=④Adl. 「(V×AdS=ΦAdl 由题127图可知C和C,是方向相反的同-回路，则有∮d1=-∮Ad 所以得到 [V-(VxA)dr=A-dl+A-dI=-A-dl+A-dI=0 由于体积是任意的，故有7(V×A)=0 题1.27图
= + ( ) f f f G G G 解 在直角坐标中 [ ( ) ( ) ( )] z z y y x x x y z G G G G G G f f y z z x x y = − + − + − G e e e = f G [ ( ) ( ) ( )] x z y y x z z y x f f f f f f G G G G G G y z z x x y − + − + − eee 所以 f f + = G G [( ) ( )] z y x z y f f G G G f G f y y z z + − + + e [( ) ( )] x z y x z f f G G G f G f z z x x + − + + e [( ) ( )] y x z y x f f G G G f G f x x y y + − + = e ( ) ( ) [ ] z y x fG fG y z − + e ( ) ( ) [ ] x z y fG fG z x − + e ( ) ( ) [ ] y x z fG fG x y − = e ( ) fG 1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明 = ( ) 0 u 及 = ( ) 0 A ，试证明之。 解 （1）对于任意闭合曲线 C 为边界的任意曲面 S ，由斯托克斯定理有 ( ) d d d d 0 S C C C u u u l u l = = = = S l 由于曲面 S 是任意的，故有 = ( ) 0 u （2）对于任意闭合曲面 S 为边界的体积 ，由散度定理有 1 2 ( )d ( ) d ( ) d ( ) d S S S = = + A A S A S A S 其中 1 S 和 2 S 如题 1.27 图所示。由斯托克斯定理，有 1 1 ( ) d d S C = A S A l ， 2 2 ( ) d d S C = A S A l 由题 1.27 图可知 C1 和 C2 是方向相反的同一回路，则有 1 2 d d C C = − A l A l 所以得到 1 2 2 2 ( )d d d d d 0 C C C C = + = − + = A A l A l A l A l 由于体积 是任意的，故有 = ( ) 0 A n1 C1 C2 2 S 1 S n2 题 1.27 图