第四章 静态场的解 已知，电位0与电场强度E的关系为 E=-70 对上式两边取散度，得 7.E=-V20 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E的散度为 V.E=P 那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为 720=- 该方程称为泊松方程。 对于无源区，上式变为 720=0 上式称为拉普拉斯方程
已知，电位 与电场强度 E 的关系为 对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为 E = − 2 E = − E = 那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为 = − 2 该方程称为泊松方程。 对于无源区，上式变为 0 2 = 上式称为拉普拉斯方程。 第四章 静态场的解
4.1边值问题的分类 确定积分常数) 边值问题是指存在边界面的电磁问题。 根据给定边界条件对边值问题分类： 第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。 pL、=f 第二类边值问题：已知函数在全部边界面上的法向导数。 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的函 数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。 00 S=
4.1 边值问题的分类 边值问题是指存在边界面的电磁问题。 根据给定边界条件对边值问题分类： 第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。 第二类边值问题：已知函数在全部边界面上的法向导数。 S = f S f n = 2 2 S f n = 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的函 数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。 1 S 1 = f 1 2 S S S = + （确定积分常数）
例1：已知无限长同轴电缆内、外半径分别为R和R2,如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为U, 外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。 解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程， 采用圆柱坐标系 L0（r⊙单)=0积分中=AInr+B r arar U=AlnR+B、A= U U B=- -In R2 由边界条件 0=4InR,+B In R In R U 则：中= 龙= In E=-Vφ R e R
R2 R1 例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和 ，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 ， 外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。 R1 R2 U 解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程， 采用圆柱坐标系 1 ( ) 0 r r r r = 积分 = + A r B ln 由边界条件 1 U A R B = + ln 2 0 ln = + A R B 2 1 1 2 2 ln ln ln U U A B R R R R R = = − 2 2 1 ln ln U R R r R 则： = E = −
例2设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面 之间的电阻。 解显然，必须选用圆柱坐标系。设两 个端面之间的电位差为U,且令 当角度中时，电位g=0 0 当角度0=的，电位%=U 那么，由于导电媒质中的电位”仅与角度中有关，因此电位满足 的方程式为 do do2 ≥0 此式的通解为 p=C10+C2
例2 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面 之间的电阻。 U y x t a b r 0 (r,) 0 解 显然，必须选用圆柱坐标系。设两 个端面之间的电位差为U，且令 当角度 = 时，电位 0 。 1 = 0 当角度 时，电位 。 2 = 2 =U 那么，由于导电媒质中的电位 仅与角度 有关，因此电位满足 的方程式为 0 d d 2 2 = 此式的通解为 =C1 + C2
利用给定的边界条件，求得 2U "2型 0= π 导电媒质中的电流密度J为 J=0E=-oVo=-eso ap 20U rod 0 那么由少=了的端面流进该导电媒质的电流/为 1-as〔e2 (-edr 电流密度矢量 因此该导电块的两个端面之间的电阻R为 U π R= b a
利用给定的边界条件，求得 2U = r U r 2 J E e = −e = = − = − 导电媒质中的电流密度J 为 那么由 的端面流进该导电媒质的电流 I 为 2 = ( d ) π 2 d t r r U I S J S e e S − = = − = = a Ut b r Ut b r a ln π d 2 π 2 因此该导电块的两个端面之间的电阻R 为 = = a b t I U R 2 ln π 电流密度矢量
AN AN 1639 17.957 19,565 22.78 21.173 24.3 25.996 30.8 100 电场强度矢量 电势分布
电场强度矢量 电势分布
4.2唯一性定理 唯一性定理内容：在场域V的各边界面S上给定电位) 00 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一。 00 说明：若对同一面积，同时给定p和的值，则不存在唯一解。 唯一性定理的意义： 指出了静态场边值问题具有唯一解的条件 为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供 了判据 唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据
4.2 唯一性定理 唯一性定理内容：在场域V的各边界面S上给定电位 、 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一。 n 说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不存在唯一解。 n 唯一性定理的意义： 指出了静态场边值问题具有唯一解的条件 为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供 了判据 唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据
4.3镜像法 几个实例： 求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 非均匀感应电荷 ●q 非均匀感应电荷产生白 电位很难求解，可以月 等效电荷 等效电荷的电位替代 接地导体球附近有一个点电荷，如图。 等效电荷 非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代 非均匀感应电荷☑
4.3 镜像法 几个实例： q q′ 非均匀感应电荷 等效电荷 非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代 求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 接地导体球附近有一个点电荷，如图。 q 非均匀感应电荷 q′ 等效电荷 非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代
镜像法原理 镜像法的目的：把原问题中包含典型边界的场的计算问题化为无限 大均匀媒质空间中的问题求解，达到简化求解的目的 镜像法基本思路：在求解域外的适当位置，放置虚拟电荷等效替代 分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用，取消分界 面的存在。 镜像法理论依据：唯一性定理。 由唯一性定理：满足同一方程和同样边界条件的电位分布的解是 相同的，所以引入像电荷（等效电荷）后，应该有 电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程） 电位分布仍满足原边界条件 镜像电荷位置选择原则： 镜像电荷必须位于求解区域以外 镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件
镜像法的目的：把原问题中包含典型边界的场的计算问题化为无限 大均匀媒质空间中的问题求解,达到简化求解的目的. 镜像法基本思路：在求解域外的适当位置，放置虚拟电荷等效替代 分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用，取消分界 面的存在。 镜像法原理 镜像法理论依据：唯一性定理。 由唯一性定理：满足同一方程和同样边界条件的电位分布的解是 相同的，所以引入像电荷（等效电荷）后，应该有 电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程） 电位分布仍满足原边界条件 镜像电荷位置选择原则： ➢ 镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件 ➢ 镜像电荷必须位于求解区域以外
4.3.1、接地导体平面的镜像 1、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像 原问题： 无限大接地导体平面(z=0),点 h 电荷g位置：z=h 导体 求空间中电位分布。 等效问题： P(x,y, 要求：与原问题边界条件相同 原电荷：q:z=h 镜像电荷（等效电荷）：-q->z=-h(求解 域外) 取消导体边界面，z>0空间媒质充满整 个空间
4.3.1、接地导体平面的镜像 1、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像 x z h q 导体 原问题： 无限大接地导体平面（z=0）,点 电荷q位置：z=h 求空间中电位分布。 x z h h q −q P x y z ( , , ) R R' 等效问题： 要求：与原问题边界条件相同 原电荷：q:z=h 镜像电荷(等效电荷):-q->z=-h(求解 域外) 取消导体边界面，z>0空间媒质充满整 个空间
