ex e,e. (2) V×R=a可a =0 x yy (3)设A=eA+e,A,+e.A,则小R=Ax+Ay+Az,故 V(A-R)=e(4x+4y+A)+e,(+y+A)+ e24+4+4=)=64+e,4+e4=A 1.18一径向矢量场F=e,f)表示，如果又.F=0,那么函数f)会有什么特点呢？ 解在圆柱坐标系中，由 v.( 可得到 nn-c C为任意常数。 在球坐标系中，由 r2f1=0 V.F-d 可得到 m-9 1.19给定矢量函数E=ey+e,x,试求从点P(2,1,-)到点(82，-1)的线积分 「Edl:(1)沿抛物线x=y2:(2)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？ 解I)∫Edl=jEdx+E,dy=jydx+xdy= yd(2y2)+2y2dy=6y'dy=14 (2)连接点B(2,1,-1)到点(82，-)直线方程为 x-2_x-8 y-1y-2 即 x-6y+4=0 故∫Edl=∫E,dx+E,dy=∫yd(6y-4)+(6y-4)dy=「12y-4)dy=14 由此可见积分与路径无关，故是保守场。 1,20求标量函数少=：的梯度及Ψ在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量 巴而+北而+e而定出：求2,3，点的方向导数值。 3 4 5 解 e,2xyz+e,x'=+e.x'y（2） x y z x y z x y y      = =    e e e R 0 （3）设 A e e e = + + x x y y z z A A A ，则 A R = + + A x A y A z x y z ，故 ( ) ( ) ( ) x x y z y x y z A x A y A z A x A y A z x y    = + + + + + +   A R e e ( ) z x y z A x A y A z z  + + =  e e e e A x x y y z z A A A + + = 1.18 一径向矢量场 ( ) r F e = f r 表示，如果  = F 0 ，那么函数 f r( ) 会有什么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 1 d [ ( )] 0 d rf r r r  = = F 可得到 ( ) C f r r = C 为任意常数。 在球坐标系中，由 2 2 1 d [ ( )] 0 d r f r r r  = = F 可得到 2 ( ) C f r r = 1.19 给定矢量函数 x y E e e = +y x ，试求从点 1P(2,1, 1) − 到点 2P (8,2, 1) − 的线积分 d  E l ：（1）沿抛物线 2 x y = ；（2）沿连接该两点的直线。这个 E 是保守场吗？ 解 （1） d d d x y C C = + = E x E y   E l d d C y x x y + =  2 2 2 1 y y y y d(2 ) 2 d + =  2 2 1 6 d 14 y y =  （2）连接点 1P(2,1, 1) − 到点 2P (8,2, 1) − 直线方程为 2 8 1 2 x x y y − − = − − 即 x y − + = 6 4 0 故 2 1 d d d d(6 4) (6 4)d x y C C = + = − + − = E x E y y y y y    E l 2 1 (12 4)d 14 y y − =  由此可见积分与路径无关，故是保守场。 1.20 求标量函数 2  = x yz 的梯度及  在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量 3 4 5 50 50 50 e e e x y z + + 定出；求 (2,3,1) 点的方向导数值。 解 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y z x yz x yz x yz x y z      = + + =    e e e 2 2 2 x y z e e e xyz x z x y + +