故有 ∫.Adr==∮Ads 24 分。 1,14计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求了r对球体积的积 frdS=fre,dS=「dp[aa2sin0d0=4πa 又在球标系中，wc列=3，所慰 [Vrdr=[[[3r2sinedrdodd=4na' 000 1.15求矢量A=e,x+e,x2+ey:沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分 此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求V×A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托 克斯定理。 解 fAdl=「xdx-「xdx+「22dy-「0dy=8 e,e,e. V×A= =e,2y+e.2x x x2 v2 所以 ∫×Ads=jfe.2z+e.2re.drdy=8 故有 ∮4dl=8=∫v×Ads 1.16求矢量A=e,x+e,y2沿圆周x2+y2=a2的线积分，再计算V×A对此圆面积的积 分。 解 Adxdx+dy=(-cossinacossinda 4 x4s-e层-eas=pPds-j产sd=g 8A,dA. 1.17证明：(1)VR=3:(2)V×R=0:(3)(小R)=A。其中R=ex+e,y+e A为一常矢量。 解1)R=++产=3 故有 1 d 24   =   A d S =  A S 1.14 计算矢量 r 对一个球心在原点、半径为 a 的球表面的积分，并求  r 对球体积的积 分。 解 2 2 3 0 0 d d d sin d 4 r S S S aa a   = = =         r S r e 又在球坐标系中， 2 2 1 ( ) 3 r r r r   = =  r ，所以 2 2 3 0 0 0 d 3 sin d d d 4 a r r a     = =         r 1.15 求矢量 2 2 x y z A e e e = + + x x y z 沿 xy 平面上的一个边长为 2 的正方形回路的线积分， 此正方形的两边分别与 x 轴和 y 轴相重合。再求  A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托 克斯定理。 解 2 2 2 2 2 0 0 0 0 d d d 2 d 0d 8 C = − + − = x x x x y y      A l 又 2 2 2 2 x y z x z yz x x y z x x y z     = = +    e e e A e e 所以 2 2 0 0 d ( 2 2 ) d d 8 x z z S   = + = yz x x y   A S e e e 故有 d 8 C =  A l d S =   A S 1.16 求矢量 2 x y A e e = +x xy 沿圆周 2 2 2 x y a + = 的线积分，再计算  A 对此圆面积的积 分。 解 2 d d d C C = + = x x xy y   A l 2 4 2 4 2 2 0 ( cos sin cos sin )d 4 a a a   − + =       d ( ) d y x z z S S A A S x y     = − =     A S e e 2 4 2 2 2 0 0 d sin d d 4 a S a y S r r r   = =      1.17 证明：（1）  = R 3 ；（2）  = R 0 ；（3）  = ( ) A R A 。其中 x y z R e e e = + + x y z ， A 为一常矢量。 解 （1） 3 x y z x y z     = + + =    R