得到 sin cos sine cos+sine sin sinsin+coscos= sine sin (cosd cos+sind sin )+cose cos= sinsin.cos()+coscos 1.11一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：小(e,3sin)dS的值 f(c.3sinde,3sineddej3sinox sinodo7 00 1.12在由r=5、:=0和：=4围成的圆柱形区域，对矢量A=e,r2+e.2:验证散度定 理。 解在圆柱坐标系中 所以 fv.Adr-jd-jdgj@r+2rdr-1200m Ads-(er+e.2=)e,dS,+e,dS,+e.dS.)= x5dd+2x4rdrde-1200 故有 [V.Adr=l200π=fdS 1l3求(1)矢量A=e,2+e,xy2+e.24x2y:2的散度：(2)求7.A对中心在原点的 一个单位立方体的积分：(3)求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解4D.A-0r+0r)+24ry-2x+2ry+72ry: (2)了，A对中心在原点的一个单位立方体的积分为 [V.Adr= 9fx2dynyzxdy 2-/ (3)A对此立方体表面的积分 V22 ∮Ads=∫}dyd-∫了dyd+ 2 f 2x(Ydxd=-5 f2x(-Ydxd+得到 1 2 1 2 cos = = R R R R 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos           + + = 1 2 1 2 1 1 2 1 2 sin sin (cos cos sin sin ) cos cos         + + = 1 2 1 2 1 2 sin sin cos( ) cos cos       − + 1.11 一球面 S 的半径为 5 ，球心在原点上，计算： ( 3sin ) d r S   e S 的值。 解 ( 3sin ) d ( 3sin ) d r r r S S   = = S   e S e e 2 2 2 0 0 d 3sin 5 sin d 75         =   1.12 在由 r = 5、 z = 0 和 z = 4 围成的圆柱形区域，对矢量 2 2 r z A e e = + r z 验证散度定 理。 解 在圆柱坐标系中 1 2 ( ) (2 ) 3 2 rr z r r r z    = + = +   A 所以 4 2 5 0 0 0 d d d (3 2) d 1200 z r r r    = + =        A 又 2 d ( 2 ) ( d d d ) r z r r z z S S r z S S S   A S e e e e e = + + + =   4 2 5 2 2 0 0 0 0 5 5d d 2 4 d d 1200 z r r    +  =        故有 d 1200   =    A d S =  A S 1.13 求（1）矢量 2 2 2 2 2 3 24 x y z A e e e = + + x x y x y z 的散度；（2）求  A 对中心在原点的 一个单位立方体的积分；（3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解 （1） 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 ( ) ( ) (24 ) 2 2 72 x x y x y z x x y x y z x y z     = + + = + +    A （2）  A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 d (2 2 72 )d d d 24 x x y x y z x y z   −−−  = + + =     A （3） A 对此立方体表面的积分 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 d ( ) d d ( ) d d 2 2 S y z y z − − − − = − − +      A S 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( ) d d 2 ( ) d d 2 2 x x z x x z − − − − − − +     1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 24 ( ) d d 24 ( ) d d 2 2 24 x y x y x y x y − − − − − − =    