解由A×B=AxC,则有A×(A×B)=A×(A×C),即 (A-B)A-(A-A)B=(A-C)A-(A-A)C 由于AB=AC,于是得到（小A)B=(AA)C 故 1.7如果给定一未知矢量与一己知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。 设A为一已知矢量，p=AX而P=A×X,p和P已知，试求X。 解由P=A×X,有 A×P=A×(A×X)=(AX)A-(AA)X=pA-(AA0X 故得 X=PA-AxP A 18在圆柱坐标中，一点的位置由(4号，3)定出，求该点在：《(D直角坐标中的坐标： (2)球坐标中的坐标。 解(1)在直角坐标系中x=4cos(2π/3)=-2、y=4sin(2π/3)=2√5、z=3 故该点的直角坐标为(-2,2√5,3)· (2)在球坐标系中r=V4F+3=5、0=an'(4/3)=53.P、中=2/3=120 故该点的球坐标为(5,53.1°，120) 19用球坐标表示的场E=e, 25 (1)求在直角坐标中点(-3,4，-5)处的E和E,: (2)求在直角坐标中点(-3,4，-)处E与矢量B=e,2-e2+e.构成的夹角。 解(1)在直角坐标中点(-3,4，-5)处，r2=(-3)2+42+(-5)2=50,故 k斗 -332 E,=e,E=Ecos8.-255-20 (2)在直角坐标中点(-3,4，-5)处，r=-e,3+,4-e.5,所以 10√2 故E与B构成的夹角为 8.=m学8-w1982=156 E.B 3/2 1.10球坐标中两个点(G,日，4)和(5，日2,4)定出两个位置矢量R和R。证明R和R 间夹角的余弦为 cosy=cose cos,+sin sine cos() 解由R,=e,isin0cos4+e,5 sinsin4+e.r cos0, R =e sine,cose,sin&,sine cos 解 由 A B = A C ，则有 A A B A A C   =   ( ) ( ) ，即 ( ) ( ) ( ) ( ) A B A A A B A C A A A C −=− 由于 AB = AC ，于是得到 ( ) ( ) A A B A A C = 故 B C= 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。 设 A 为一已知矢量， p = A X 而 P A X =  ， p 和 P 已知，试求 X 。 解 由 P A X =  ，有 A P A A X A X A A A X A A A X  =   = − = − ( ) ( ) ( ) ( ) p 故得 p −  = A A P X A A 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由 2 (4, ,3) 3  定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标； （2）球坐标中的坐标。 解 （1）在直角坐标系中 x = = − 4cos(2 3) 2  、 y = = 4sin(2 3) 2 3  、 z = 3 故该点的直角坐标为 ( 2, 2 3,3) − 。 （2）在球坐标系中 2 2 r = + = 4 3 5、 1  tan (4 3) 53.1 − = = 、  = = 2 3 120 故该点的球坐标为 (5,53.1 ,120 ) 1.9 用球坐标表示的场 2 25 r r E e = ， （1）求在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处的 E 和 E x ； （2）求在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处 E 与矢量 2 2 B e e e = − + x y z 构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处， 2 2 2 2 r = − + + − = ( 3) 4 ( 5) 50 ，故 2 25 1 2 r r E e = = 1 3 3 2 cos 2 20 5 2 E x x rx  − = = =  = − e E E （2）在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处， 3 4 5 = − + − x y z r e e e ，所以 2 3 25 25 3 4 5 10 2 x y z r r − + − = = = r e e e E 故 E 与 B 构成的夹角为 1 1 19 (10 2) cos ( ) cos ( ) 153.6 3 2  − − EB = = − = E B E B 1.10 球坐标中两个点 1 1 1 ( , , ) r   和 2 2 2 ( , , ) r   定出两个位置矢量 R1 和 R2 。证明 R1 和 R2 间夹角的余弦为 1 2 1 2 1 2 cos cos cos sin sin cos( )        = + − 解 由 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin cos sin sin cos x y z R e e e = + + r r r      2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin sin cos x y z R e e e = + + r r r     