1.2三角形的三个顶点为P0,1,-2)、B(41,-3)和P(6,2,5)。 (1)判断△PDP是否为一直角三角形： (2)求三角形的面积。 解(1)三个顶点(0,1，-2)、P(4,L,-3)和P(6,2,5)的位置矢量分别为 5=e,-e.2,5=e,4+e,-e3,5=e6+e,2+e5 R2=5-5=e4-e, R,=5-5=e2+e,+e.8, R1=r-5=-e6-e,-e.7 由此可见 R2Rs=(e4-e)(e2+e,+e.8)=0 故△PP,P为一直角三角形。 （2)三角形的面积S=R:×R=)R×R=)7xV6=17.13 1.3求P'(-3,1,4)点到P(2,-2,3)点的距离矢量R及R的方向。 解rr=-e3+e,+e.4,rp=e2-e,2+e.3, 则 Rpp rp-rp=e5-e,3-e: 且Rp与x、y、:轴的夹角分别为 =s)=s房23r 5 RPl =w=w房=i07 -3 =6s)=s(宽=973 1.4给定两矢量A=e,2+e,3-e.4和B=e,4-e,5+e.6,求它们之间的夹角和A在 B上的分量。 -31 解A与B之间的夹角为0s=cs4B}=cos2列Xy方131 B-31 1在B上的分量为4=小因房-352 1.5给定两矢量A=e2+e,3-e.4和B=-e6-e,4+e.,求A×B在C=e-e,+e 上的分量 es es e. 解A×B=23-4=-e,13+e22+e.10 -6-41 48C8为d8C-点-4 1.6证明：如果AB=AC和A×B=A×C,则B=C:1.2 三角形的三个顶点为 1P(0,1, 2) − 、 2 P (4,1, 3) − 和 3P (6,2,5) 。 （1）判断 PP P 1 2 3 是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解 （1）三个顶点 1P(0,1, 2) − 、 2 P (4,1, 3) − 和 3P (6,2,5) 的位置矢量分别为 1 2 = − y z r e e ， 2 4 3 = + − x y z r e e e ， 3 6 2 5 = + + x y z r e e e 则 12 2 1 4 R r r e e = − = − x z ， 23 3 2 2 8 R r r e e e = − = + + x y z ， 31 1 3 6 7 R r r e e e = − = − − − x y z 由此可见 12 23 ( 4 ) ( 2 8) 0 R R e e e e e = − + + = x z x y z 故 PP P 1 2 3 为一直角三角形。 （2）三角形的面积 12 23 12 23 1 1 1 17 69 17.13 2 2 2 S =  =  =  = R R R R 1.3 求 P( 3,1, 4) − 点到 P(2, 2,3) − 点的距离矢量 R 及 R 的方向。 解 3 4 r e e e P x y z  = − + + ， 2 2 3 r e e e P x y z = − + ， 则 5 3 R r r e e e P P P P x y z   = − = − − 且 RPP 与 x、 y 、 z 轴的夹角分别为 1 1 5 cos ( ) cos ( ) 32.31 35 x P P x P P  − −   = = = e R R 1 1 3 cos ( ) cos ( ) 120.47 35 y P P y P P  − −   − = = = e R R 1 1 1 cos ( ) cos ( ) 99.73 35 z P P z P P  − −   = = − = e R R 1.4 给定两矢量 2 3 4 A e e e = + − x y z 和 4 5 6 B e e e = − + x y z ，求它们之间的夹角和 A 在 B 上的分量。 解 A 与 B 之间的夹角为 1 1 31 cos ( ) cos ( ) 131 29 77  − − − = = =  AB A B A B A 在 B 上的分量为 31 3.532 77 AB − = = = − B A B 1.5 给定两矢量 2 3 4 A e e e = + − x y z 和 6 4 B e e e = − − + x y z ，求 A B 在 C e e e = − + x y z 上的分量。 解 A B = 2 3 4 6 4 1 x y z − = − − e e e 13 22 10 − + + x y z e e e 所以 A B 在 C 上的分量为 ( ) A B = C ( ) 25 14.43 3  = − = − A B C C 1.6 证明：如果 AB = AC 和 A B = A C ，则 B C= ；