1、一维单原子链解的讨论 讨论:位移?x,=A4m 方程 m-=A(r1 +r-2 . xn=Ae4wm-o),n为整数,共有N个原胞 x= Aeilqar-o(g) 位移与格点 又整数 ·不同格点原子的位移,由Boch定理决定,差一个相 ·这说明,各个原子的振动并不是独立的 ·设问:那么,这个解到底表示什么? ·晶格摄动是一种集体的摄动! 位移与频率0(q有关 如果位相差2pi整数管时,位移完全相等 而振动频率与n无关! ·或者说,提到某个频率的振动,就得与这N个的位 这表示所有的原子都同时在做的频率为∞的振动 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 讨论:位移?x=Aemm 讨论:位移? x,=Ae ·上面只是一个个特解,一般解应是它们的选 q=元,-2<1s,共N个值,N原胞数 加,即在任意时刻t,n格点的原子处在 ·位移与波失 波矢的取值由周期性边界条件决定 ·振幅与q有关,A)把也包括进去 个状态对应个频率,S ·即名种不同波矢、不同频率的格波的选加 ·这些振动互相之间独立,没有关系 用这种方法来确定晶体中各个原子的空间 坐标随时间的变化从而描写晶格振动非常复杂 简谐振动 ·因为名个原子相互之闻是关联的 设问:那么多解,那么,原子到底怎么振动? 问题在哪里?不同原子的振动是互相关联的, 或问:原子在任时刻,到底处在什么位置? 振动状态是独的,但每个位移并不是独立的 自然要问:有无更简便的方法来描写这种振动 45.24112gche园体制学 体理学 2、简正坐标:一维情况 一维单原子链解的位移 一维单原子链解的分析 用x示格点n处原子位移时,x是坐标轴 换个角度,如果昌格振动中名个不同的波矢、不同 ·需要选基轴,使势能的表示简单,没有交叉项 因此,就没有⑩要去知道每个原子的空间坐标 三个变量井不独立,有两个约束条件。但从形式 ·但是原子之间关联怎么办?关联?看势能 会有三 的表示是不方便的 在描写晶格振动的情况类似 如果能简化交叉项,就可以分高变量。为此 质然腰银活是不提物的,把 需要变换基軸x,遁过变换使晶格振动的描写 简化 种的45.2413ghe园师物学 趣452413 binche物理学2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 1、一维单原子链解的讨论 • 设问：那么，这个解到底表示什么？ • 位移与频率ω(q)有关 * 如果位相差2\pi的整数倍时，位移完全相等 • 而振动频率与n无关！ * 这表示所有的原子都同时在做的频率为ω的振动 ( 2 ) 2 1 1 2 n n n n x x x dt d x m = β + + − − • 解 2 ( ) 2 sin qa m q β ω = i[ ] qna ( ) q t xn Ae −ω = l取整数 N a l q , 2π = • 方程 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 讨论：位移？ • 位移与格点 * 不同格点原子的位移，由Bloch定理决定，差一个相 因子 * 这说明，各个原子的振动并不是独立的 • 晶格振动是一种集体的振动！ * 对应某个给定频率，需要N个互相有关联的位移来 描写在不同原胞中原子具有这个频率的集体振动， 这说明振动是互相有关的 * 或者说，提到某个频率的振动，就得与这N个的位 移联系起来 i[ ] qna ( ) q t xn Ae −ω = xn = Aei[qna−ω(q)t] , n为整数,共有N个原胞 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 讨论：位移？ • 位移与波矢 * 波矢的取值由周期性边界条件决定 * 这是振动的状态数目，一个状态q对应s个频率，s即 自由度，一维单原子，s=1 • 这些振动互相之间独立，没有关系 * 简谐振动 • 设问：那么多解，那么，原子到底怎么振动？ * 或问：原子在任意时刻t，到底处在什么位置？ 共N个值 N原胞数 N l N l Na q , , 2 2 , 2 = − < ≤ π i[ ] qna ( ) q t xn Ae −ω = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 讨论：位移？ • 振幅与q有关，Aq(t)把e-iωt 也包括进去 * 即各种不同波矢、不同频率的格波的迭加 • 因此用这种方法来确定晶体中各个原子的空间 坐标随时间的变化从而描写晶格振动非常复杂 * 因为各个原子相互之间是关联的 • 问题在哪里？不同原子的振动是互相关联的， * 振动状态是独立的，但每个位移并不是独立的 • 自然要问：有无更简便的方法来描写这种振动 • 上面只是一个个特解，一般解应是它们的迭 加，即在任意时刻t，n格点的原子处在 i[ ] qna t xn Ae −ω = = ∑ ( ) q iqna n q x A t e http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 2、简正坐标：一维情况 • 一维单原子链解的分析 * 换个角度，如果晶格振动中各个不同的波矢、不同 频率的格波的振幅知道了，振动情况也就完全确定 了——格波之间没有相互作用 * 因此，就没有必要去知道每个原子的空间坐标 • 但是原子之间关联怎么办？关联？看势能 • 如果能简化交叉项，就可以分离变量。为此， 需要变换基轴x，通过变换使晶格振动的描写 简化 ∑ ( ) ∑ ( ) = − + = + + − + n n n n n n n n V x x x x x x 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 β β 简谐 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 一维单原子链解的位移 • 用 xn表示格点n处原子位移时，x是坐标轴 * 需要选基轴，使势能的表示简单，没有交叉项 * 比如一个质点的一维运动，如果随意放置坐标轴， 可能需要三个变量x，y，z来描写它的运动。当然这 三个变量并不独立，有两个约束条件。但从形式 上，会有三个变量x，y，z出现在运动方程中，这样 的表示是不方便的 • 现在描写晶格振动的情况类似 * 既然每个原胞中等价原子的振动不是独立的，把它 们的位移都表示出来的描写是不方便的