基矢的选择x=∑4(k 展开 ·问:那么用什么做基矢较好 Q0就是简正坐标,意义即x在基矢軸cqm的 ·四m对于不同的q,是N维的 分量 ·本征失e,做基失 ·看动能和势能在这个基夫轴下能不能表示得简 洁些 本征失c本身滿足正交归一性,即按g求和, 或按n求和, y=2∑(-x)=2∑(:+-2x) 种p∥45.2413che國体学 体理学 ·代入势能后可得 ·同样对动能也可得 ∑QQy y 2Nm m4. =1∑ap=1∑ ,∑{km+-+bm 利用 ∑包 2Nm ·最終可得 e,"-e" /02=PL H=2 p∑,QnD-cpl-l∑g 其中 2B 3、简正坐标:三维情况 这样过渡到量子力学处理—简谐振子方程 定义简正坐标Qn 可解得能量 值得注意:量子化谐振子的频率就是经典简谐 ·通过线性变换消除交叉项,将动能和势能同时 振动的频率 简化为简正坐标Q平方项的和 ·可以推广到三维的情况 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 基矢的选择 • 问：那么用什么做基矢较好？ • eiqna对于不同的q，是N维的 • 本征矢eiqna，做基矢 = ∑ ( ) q iqna n q x A t e ( ) , ' 1 ' n n q iq n n a e N ∑ = δ − • 或按n求和， ( ) , ' 1 ' q q n i q q na e N ∑ = δ − iqna e N 1 • 本征矢eiqna本身满足正交归一性，即按q求和， http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 展开 • Qq(t)就是简正坐标，意义即xn在基矢轴eiqna的 分量 • 看动能和势能在这个基矢轴下能不能表示得简 洁些 = ∑n n T mx2 2 1 & ∑( ) ∑( ) = + − = + + − + n n n n n n n n V x x x x x x1 2 2 1 2 1 2 2 2 β β ( ) = ∑ ( ) q iqna n q Q t e Nm x t 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 • 代入势能后可得 [ ] iq n a iq n a iqna iq n a iqna iq na iq n a iq na n q q q q e e e e e e e e Q Q Nm V ( ) '( ) '( ) ' ( ) ' , , ' ' 1 1 1 1 2 + + + + − + − = ∑ β ∑ ∑ [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + − − + + , ' ( ') ' ( ') ' q n q i q q a iqa iq a i q q na q q Q Q e e e e Nm 1 2 β ∑{ } [ ] − + = + − − , ' , ' ( ') ' ' q q q q i q q a iqa iq a QqQq e e e N Nm δ β 1 2 = ∑{ } − [ ] − − q iqa iqa q q Q Q e e m 2 2 β = ∑{ } − [ ] − = ∑ − q q q q q QqQ q qa Q Q m 2 2 1 1 ω β cos( ) [ ] cos(qa) m q = 1− 2 2β ω http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 • 同样对动能也可得 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − + + = = = = q q q q q q q q q q n q i q q na q q n q q i q q na q q Q Q Q Q Q Q e N Q Q e N T & & & & & & & & 2 1 2 1 2 1 2 1 , ' ' , ' , ' ( ') ' , , ' ( ') ' δ • 利用 * Q−q = Qq • 最终可得 ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + q H Qq q Qq 2 2 2 2 1 & ω [ ] cos(qa) m q = 1− 2 2β • 其中 ω http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 • 值得注意：量子化谐振子的频率就是经典简谐 振动的频率 • 可以推广到三维的情况 • 这样过渡到量子力学处理——简谐振子方程 * 可解得能量 ( ) E ωq nq ⎟hωq ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 3、简正坐标：三维情况 • 定义简正坐标Qn • 通过线性变换消除交叉项，将动能和势能同时 简化为简正坐标Qn平方项的和 ∑= = N n n T Q 3 1 2 2 1 & ∑= = N n n n V Q 3 1 2 2 2 1 ω ∑= = N n jn n j j a Q M u 3 1 1