那么,正则动亚为 这是3N个相互无关的方程简正坐标描述独 立的简谐振动 a(T-D) ·只考察一个Q振动时, 哈密顿量为 H=lS Asin(@, 1+0) 从正则方程得到 Pn aH=-02 0, 2+om2,=0 种p∥45.2413che國体学 体理学 4、晶格振动的量子化 ·这表示的是一系列无相互作用的简谐摄子,可 以分高变量,记 将经典哈密顿中的动量写成算符形式 E ,Q2…Q2)=∏n) Po=-ih 即可得到波动方程 得(epg)-g) nag +o e J rle. e- 2 M =Ee@ @, @w) ·解为厄密多项式,其本征值为 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 声子 ·这样的量子谐振子的频率就是经典振动的频率 样的量子谐振子称为声子晶格振动的能 量子 注意:一个简正报动并不是表示某一个原子的 ·利用声子的概念处理晶体中相互作用问题就比 振动,而是整个晶体所有原子新参与的振动频 较筒单明了,比如: 率相同的振动 昌格摄动与昌格振动的相互作用; 这种集体振动称为振动模 ·振动能量是分裂的,量子化的!即 ·晶格振动与光子的相互作用等 ·声于是玻色子,遵从玻色统计 e),(qNk,T http:Ia45].132ichey 是学 趣42413 birches四理学4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 • 那么，正则动量为 n n n Q Q T V p & & = ∂ ∂ − = ( ) • 哈密顿量为 ∑( ) = = + N n H pn nQn 3 1 2 2 2 2 1 ω • 从正则方程得到 n n n n Q Q H p 2 = −ω ∂ ∂ & = − 0 2 Qn +ωnQn = && http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 • 这是3N个相互无关的方程——简正坐标描述独 立的简谐振动 Q = Asin(ω t +δ ) n n • 只考察一个Qn振动时， = Asin(ω t +δ ) M a u n j jn j http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 4、晶格振动的量子化 • 将经典哈密顿中的动量写成算符形式 n n Q p i ∂ ∂ = − h • 即可得到波动方程 ( )( ) N N N n nQn Q Q Q E Q Q Q Qn 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 1 ω ψ , ,..., = ψ , ,..., ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ ∑ − = h http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 • 这表示的是一系列无相互作用的简谐振子，可 以分离变量，记 () () l Ql Ql l Ql Ql ω ϕ = ε ϕ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ − 2 2 2 2 2 2 1 h • 解为厄密多项式，其本征值为 l l l ε n ⎟hω ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 ∑= = N l E l 3 1 ε ( ) () ∏= = N l Q Q Q N n Ql l 3 1 ψ 1, 2 ,..., 3 ϕ • 得 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 comments • 注意：一个简正振动并不是表示某一个原子的 振动，而是整个晶体所有原子都参与的振动频 率相同的振动 • 这种集体振动称为振动模 • 振动能量是分裂的，量子化的！即 = ∑j Qn M j ajnu j ~ l l l ε n ⎟hω ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 • 由 ∑= = N n jn n j j a Q M u 3 1 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 • 这样的量子谐振子的频率就是经典振动的频率 • 这样的量子谐振子称为声子——晶格振动的能 量子 • 利用声子的概念处理晶体中相互作用问题就比 较简单明了，比如： * 晶格振动与晶格振动的相互作用； * 晶格振动与电子的相互作用； * 晶格振动与光子的相互作用等 • 声子是玻色子，遵从玻色统计 1 1 − = l l kBT e n (q)/ (q) hω 声子