4.两类曲面积分的应用 设为空间曲面，曲面上任意一点(x,y,)处的面密度为(x,y,),则 （)空间曲面薄片Σ的面积A=川S,其中A为曲面Σ的面积。 (2)曲面薄片Σ绕x轴、y轴、：轴和原点的转动惯量分别为 1=∬pxy2+s，,=∬o(x.y.=Xx2+ 1.=j∬px,y,x2+y2)，o=∬px,y,x2+y2+2ds. (3)曲面薄片Σ的质量 M=∬pxy=)s (4)若曲面薄片Σ的重心坐标G元，)，则有 y.ds.sx.y.)ds. 5.高斯公式 设空间闭区域2是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,y,)、O(x,以，)、R(x,y,) 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有如下公式（即高斯公式）成立： +器+器h-每t+Q+, 小g+号+警h=Poaa+QsA+Rasr, 这里Σ是2的整个边界曲面的外侧，cosa,cosB,cosy是有向曲面Σ上点(x,y,)处的法向 量的方向余弦. 6.斯托克斯公式 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以「为边界的分片光滑的有向曲面，「的正向 与Σ的侧符合右手规则，函数P(x,y,)、Qx,)、xy,)在曲面Σ（连同边界）上具有 一阶连续偏导数，则有如下公式（即斯托克斯公式）成立： 小受t+是股器器h-P+Q+肚。 或记为 ht止tdkd 品号是f++， P O R4．两类曲面积分的应用 设  为空间曲面，曲面上任意一点 ( , , ) x y z 处的面密度为 ( , , ) x y z ，则 （1）空间曲面薄片  的面积 A dS  =  ，其中 A 为曲面  的面积． （2）曲面薄片  绕 x 轴、 y 轴、 z 轴和原点的转动惯量分别为 2 2 ( , , )( ) x I x y z y z dS   = +  ， 2 2 ( , , )( ) y I x y z x z dS   = +  ， 2 2 ( , , )( ) z I x y z x y dS   = +  ， 2 2 2 ( , , )( ) O I x y z x y z dS   = + +  ． （3）曲面薄片  的质量 M x y z dS ( , , )  =  ． （4）若曲面薄片  的重心坐标 G x y z ( , , ) ，则有 1 x x y z xdS ( , , ) M   =  ， 1 y x y z ydS ( , , ) M   =  ， 1 z x y z zdS ( , , ) M   =  ． 5．高斯公式 设空间闭区域  是由分片光滑的闭曲面  所围成，函数 P x y z ( , , ) 、Q x y z ( , , ) 、R x y z ( , , ) 在  上具有一阶连续偏导数，则有如下公式（即高斯公式）成立： ( ) P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z      + + = + +      ， 或 ( ) ( cos cos cos ) P Q R dv P Q R dS x y z         + + = + +      ， 这里  是  的整个边界曲面的外侧， cos ,cos ,cos    是有向曲面  上点 ( , , ) x y z 处的法向 量的方向余弦． 6．斯托克斯公式 设  为分段光滑的空间有向闭曲线，  是以  为边界的分片光滑的有向曲面，  的正向 与  的侧符合右手规则，函数 P x y z ( , , ) 、Q x y z ( , , ) 、R x y z ( , , ) 在曲面  （连同边界）上具有 一阶连续偏导数，则有如下公式（即斯托克斯公式）成立： dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx+Qdy +Rdz ． 或记为： dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R      = + +     