∬fxys=川几0，yV+x0y)+x0yt (3)当x,y,)≥0时，对面积的曲面积分∫川∫x,y,:)S在物理上表示面密度函数为 p=f(x,水，)的曲面物体的质量。 2.对坐标的曲面积分（第二类曲面积分） (1)设工为光滑的有向曲面，函数R(x,八，)在工上有界.则定义函数(x八，)在有向 曲面Σ上对坐标x、y的曲面积分为 ∬Rx,y=lim∑R5,n,5AS 类似地可定义 ∬Pxy=t=lm∑P5,n,S△S ∬e(x,y,=dd=lim∑0(5，n,5aS)a 通常将到∬Px,y,=dt+∬Q(x,y,=dd+∬Rx,y,=d简记为 ∬Px,y,)dt+O(x,y,)tk+Rx,y,=d。 注对坐标的曲面积分与积分曲面的侧（即取定的法向量）有关，即 ∬Pdt+Od-ds+Rdd=-J∬Pdt+Od-dx+Rdk 其中Σ表示与Σ相反侧的有向曲面. (2)当积分曲面Σ由方程：=(x,y)给出，Σ在xO面上的投影区域为D。,则有 x,y,dd=∬xy(xytd, 其中当Σ取上侧时（即Σ的法向量与：轴正向的夹角成锐角），积分前取“+”；当Σ取下侧 时（即Σ的法向量与：轴正向的夹角成钝角），积分前取“-” 类似地，如果Σ由x=x(y,)给出，则有 Px,yt=∬Pxyt 如果Σ由y=(x,)给出，则有 ∬Q(xy,)td=±Q[x,e,xd 其中符号由曲面的法向量与y轴正向的夹角或与x轴正向的夹角来确定，原则是“锐角为正， 纯角为负” 3.两类曲面积分之间的关系 ∬PMt+Oth+R-∬Poosa++Rcos7达， 其中cosa,cOsB,cosy是有向曲面Σ上点(x,y,)处的法向量的方向余弦. 2 2 ( , , ) [ ( , ), , ] 1 ( , ) ( , ) yz y z D f x y z dS f x y z y z x y z x y z dydz  = + +   ． （3）当 f x y z ( , , ) 0  时，对面积的曲面积分 f x y z dS ( , , )   在物理上表示面密度函数为  = f x y z ( , , ) 的曲面物体的质量． 2．对坐标的曲面积分（第二类曲面积分） （1）设  为光滑的有向曲面，函数 R x y z ( , , ) 在  上有界．则定义函数 R x y z ( , , ) 在有向 曲面  上对坐标 x 、 y 的曲面积分为 0 1 ( , , ) lim ( , , )( ) n i i i i xy i R x y z dxdy R S     →  =  =   ． 类似地可定义 0 1 ( , , ) lim ( , , )( ) n i i i i yz i P x y z dydz P S     →  =  =   ， 0 1 ( , , ) lim ( , , )( ) n i i i i zx i Q x y z dzdx Q S     →  =  =   ． 通常将 P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ( , , ) ( , , ) ( , , )    + +    简记为 P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ( , , ) ( , , ) ( , , )  + +  ． 注 对坐标的曲面积分与积分曲面的侧（即取定的法向量）有关，即 Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy −   + + = − + +   ， 其中 −  表示与  相反侧的有向曲面． （2）当积分曲面  由方程 z z x y = ( , ) 给出， 在 xOy 面上的投影区域为 D xy ，则有 ( , , ) [ , , ( , )] Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy  =    ， 其中当  取上侧时（即  的法向量与 z 轴正向的夹角成锐角），积分前取“+” 当  取下侧 时（即  的法向量与 z 轴正向的夹角成钝角），积分前取“−”． 类似地，如果  由 x x y z = ( , ) 给出，则有 ( , , ) [ ( , ), , ] Dyz P x y z dydz P x y z y z dydz  =    ． 如果  由 y y x z = ( , ) 给出，则有 ( , , ) [ , ( , ), ] Dzx Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx  =    ， 其中符号由曲面的法向量与 y 轴正向的夹角或与 x 轴正向的夹角来确定，原则是“锐角为正， 钝角为负”． 3．两类曲面积分之间的关系 Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS ( cos cos cos )      + + = + +   ， 其中 cos ,cos ,cos    是有向曲面  上点 ( , , ) x y z 处的法向量的方向余弦．