设平面曲线弧L上任意一点(x,)处的线密度为p(x,),则绕x轴、y轴和原点的转动 惯量分别为 1,=p(x.y)yids,I=p(x.y)x'ds,lo=S p(x.yxi+y')ds. 设空间曲线弧「上任意一点(x,八，)处的线密度为xy,),则绕x轴、y轴、：轴和原 点的转动惯量分别为 1=xyX0y+2达，1，=x,y=x2+2达 12=∫px,y,x2+y2d， lo=fp(x.y.x++:ds (4)变力沿曲线做功 设变力F=P(x,)i+Qx,yi,则变力沿平面曲线L所作的功为 W=∫Px,yh+Ox,y 同理可利用对坐标的曲线积分求变力沿空间曲线所作的功， (二)曲面积分 1.对面积的曲面积分（第一类曲面积分） (1)设曲面Σ是光滑的，函数∫(x,y,)在上有界.则定义函数x,y,:)在曲面Σ上 对面积的曲面积分为 jfx,ys=im∑f5,n,5)As 称dS为曲面面积元素，且曲面Σ的面积为川dS. (2)当曲面Σ由方程z=(x,y)给出，Σ在xOy面上的投影区域为Dm,函数z=(x,y) 在D,上具有连续偏导数，被积函数fx八)在Σ上连续，则 ∬fx==∬几x红++d D 当积分曲面Σ的方程为y=(x,),D为Σ在Ox面上的投影区域，则函数fx,y,)在Σ 上对面积的曲面积分为 ∬fxys=∬几x,e,xW+e,x)+ye,xt。 当积分曲面Σ的方程为x=x(y,),D-为2在O:面上的投影尽域，则函数fx,y)在 上对面积的曲面积分为设平面曲线弧 L 上任意一点 ( , ) x y 处的线密度为 ( , ) x y ， 则绕 x 轴、 y 轴和原点的转动 惯量分别为 2 ( , ) x L I x y y ds =   ， 2 ( , ) y L I x y x ds =   ， 2 2 ( , )( ) O L I x y x y ds = +   ． 设空间曲线弧  上任意一点 ( , , ) x y z 处的线密度为 ( , , ) x y z ，则绕 x 轴、 y 轴、 z 轴和原 点的转动惯量分别为 2 2 ( , , )( ) x I x y z y z ds   = +  ， 2 2 ( , , )( ) y I x y z x z ds   = +  ， 2 2 ( , , )( ) z I x y z x y ds   = +  ， 2 2 2 ( , , )( ) O I x y z x y z ds   = + +  ． （4）变力沿曲线做功 设变力 F i j = + P x y Q x y ( , ) ( , ) ，则变力沿平面曲线 L 所作的功为 ( , ) ( , ) L W P x y dx Q x y dy = +  ． 同理可利用对坐标的曲线积分求变力沿空间曲线所作的功． （二）曲面积分 1．对面积的曲面积分（第一类曲面积分） （1）设曲面  是光滑的，函数 f x y z ( , , ) 在  上有界．则定义函数 f x y z ( , , ) 在曲面  上 对面积的曲面积分为 0 1 ( , , ) lim ( , , ) n i i i i i f x y z dS f S     →  =  =   ． 称 dS 为曲面面积元素，且曲面  的面积为 dS   ． （2）当曲面  由方程 z z x y = ( , ) 给出， 在 xOy 面上的投影区域为 D xy ，函数 z z x y = ( , ) 在 D xy 上具有连续偏导数，被积函数 f x y z ( , , ) 在  上连续 则 2 2 ( , , ) [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) xy x y D f x y z dS f x y z x y z x y z x y dxdy  = + +   ． 当积分曲面  的方程为 y y x z = ( , ) ，D xz 为  在 zOx 面上的投影区域 则函数 f x y z ( , , ) 在  上对面积的曲面积分为 2 2 ( , , ) [ , ( , ), ] 1 ( , ) ( , ) zx z x D f x y z dS f x y z x z y z x y z x dzdx  = + +   ． 当积分曲面  的方程为 x x y z = ( , )，D yz 为  在 yOz 面上的投影区域，则函数 f x y z ( , , ) 在  上对面积的曲面积分为