其中csa,c0sB为有向曲线L上点(x,)处的切向量的方向余弦 (2)空间曲线厂的情形： Pxyh+Qx,八+Rxyt =[P(x.y,=)cosa+Q(x.y,=)cos B+R(x.y,=)cosylds, 其中cosa,cosB,cosy为有向曲线「上点(x,八，：)处的切向量的方向余弦. 4.格林公式、曲线积分与路径无关的条件 (1)格林公式 设平面闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,),Q(x,)在D上具有一阶连续 偏导数，则有 其中L是D的取正向的边界曲线， (2)积分与路径无关的条件 设P(x,以，Qx,)在单连通区域D内有连续的一阶偏导数，则下列四个命题等价： a.∫P红，d+O(x,)在D内积分与路径无关： b.∮Px+O(x,)=0，L为D内任一闭曲线 c器-nen: d.存在可微函数ux,),使得d=Px,y)t+Qx,yd,且有 x.P+ =O,d+广Px, 其中(3%)为D内任一点. 5.两类曲线积分的应用 (1)利用曲线积分求弧长s=」d心. (2)利用曲线积分求重心坐标 设空间曲线「的线密度函数为(x,y,),则重心坐标（区，以）可由下式给出，即 其中M=[4(x乃，). (3)求转动惯量 其中 cos ,cos   为有向曲线 L 上点 ( , ) x y 处的切向量的方向余弦． （2）空间曲线  的情形： ( , , ) ( , , ) ( , , ) L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz + +  [ ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos ] L = + + P x y z Q x y z R x y z ds     ， 其中 cos ,cos ,cos    为有向曲线  上点 ( , , ) x y z 处的切向量的方向余弦． 4．格林公式、曲线积分与路径无关的条件 （1）格林公式 设平面闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P x y ( , ) ，Q x y ( , ) 在 D 上具有一阶连续 偏导数，则有 ( ) L D Q P dxdy Pdx Qdy x y   − = +     ， 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线． （2）积分与路径无关的条件 设 P x y Q x y ( , ), ( , ) 在单连通区域 D 内有连续的一阶偏导数，则下列四个命题等价： a． ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  在 D 内积分与路径无关； b． ( , ) ( , ) 0 L P x y dx Q x y dy + =  ， L 为 D 内任一闭曲线； c． ,( , ) Q P x y D x y   =    ； d．存在可微函数 u x y ( , ) ，使得 du P x y dx Q x y dy = + ( , ) ( , ) ，且有 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y x y x y u x y Pdx Qdy P x y dx Q x y dy = + = +    0 0 0 ( , ) ( , ) y x y x = + Q x y dy P x y dy   ， 其中 0 0 ( , ) x y 为 D 内任一点． 5．两类曲线积分的应用 （1）利用曲线积分求弧长 L s ds =  ． （2）利用曲线积分求重心坐标 设空间曲线  的线密度函数为 ( , , ) x y z ，则重心坐标 ( , , ) x y z 可由下式给出，即 1 x x y z xds ( , , ) M   =  ， 1 y x y z yds ( , , ) M   =  ， 1 z x y z zds ( , , ) M   =  ， 其中 M x y z ds ( , , )  =  ． （3）求转动惯量