于下限. (3)物理意义 设曲线L的线密度为p(x,),则其质量为M=∫，P(x,y达· 2.对坐标的曲线积分（第二类曲线积分） (1)设L为xOy面内从点A到B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x,)、Qx,)在L上 有界.则定义函数Px,)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分为 PG.(A 类似可以定义对坐标y的曲线积分为∫Q(x)=m∑Q5,n,)4y·常见的还有如下的组 合形式 [P(x.y)dx+(x.y)dy =P(x.y)d+(x.y)dy 注对坐标的曲线积分与积分曲线的方向有关，设[表示L的反向曲线弧，则 SP(x.y)d+O(x,y)dy=-P(x.y)dx+Q(x.y)dy (2)当曲线L的参数方程为=，且当：由口变化到B时，曲线L由A变化到B y=0 ∫Px,yd+x,yd=∫{P(x,r)+(a),by')d 当曲线L的方程为y=),可将L的参数方程设为 =闭’从a变化到6，则 P(x.y+(x.y)dy =(P[x.(x+(x.M(x)l(x)d 若线L的方为=试0小，可格L的参数方程设为：.少从e变化，圆 [.P(x.y)dx+Q(x.y)dy =[(PIx(y).yl(y)+a(x(y).y]dy. 同理可以定义三元函数fx,y,)在空间曲线「上对坐标x,y和：的曲线积分，并有相应 的计算方法. 注在计算此类曲线积分时候，积分下限值对应于曲线的起点的参数值，积分上限值对 应于曲线的终点的参数值，上限值不一定大于下限值。 3.两类曲线积分之间的关系 (1)平面曲线L的情形： P(xd+(x)dy=[P(x.y)cosa+(y)cos plds,于下限． （3）物理意义 设曲线 L 的线密度为 (x, y) ，则其质量为 ( , ) L M x y ds =   ． 2．对坐标的曲线积分（第二类曲线积分） （1）设 L 为 xOy 面内从点 A 到 B 的一条有向光滑曲线弧，函数 P x y ( , ) 、Q x y ( , ) 在 L 上 有界．则定义函数 P x y ( , ) 在有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分为 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i L i P x y dx P x    → =  =   ， 类似可以定义对坐标 y 的曲线积分为 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i L i Q x y dy Q y    → =  =   ．常见的还有如下的组 合形式 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  ( , ) ( , ) L L = + P x y dx Q x y dy   ． 注 对坐标的曲线积分与积分曲线的方向有关，设 L − 表示 L 的反向曲线弧，则 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy − + = − +   ． （2）当曲线 L 的参数方程为 ( ) ( ) x x t y y t  =   = ，且当 t 由  变化到  时，曲线 L 由 A 变化到 B ， 则 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  = { [( ( ), ( )] ( ) [( ( ), ( )] ( )} P x t y t x t Q x t y t y t dt     +  ． 当曲线 L 的方程为 y y x = ( ) ，可将 L 的参数方程设为 ( ) x x y y x  =   = ， x 从 a 变化到 b ，则 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  { [ , ( )] [( , ( )] ( )} b a = + P x y x Q x y x y x dx   ． 若曲线 L 的方程为 x x y = ( ) ，可将 L 的参数方程设为 x x y( ) y y  =   = ， y 从 c 变化到 d ，则 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  { [ ( ), ] ( ) [( ( ), ]} . d c = + P x y y x y Q x y y dy   同理可以定义三元函数 f x y z ( , , ) 在空间曲线  上对坐标 x y, 和 z 的曲线积分，并有相应 的计算方法． 注 在计算此类曲线积分时候，积分下限值对应于曲线的起点的参数值，积分上限值对 应于曲线的终点的参数值，上限值不一定大于下限值． 3．两类曲线积分之间的关系 （1）平面曲线 L 的情形： ( , ) ( , ) [ ( , )cos ( , )cos ] L L P x y dx Q x y dy P x y Q x y ds + = +    