+)内单调、可导，且 到目前为止，所基本初等函数的导数我们都求出来了，那么由基本初等函数构成的较复 杂的初等函数的导数如可求呢？如函数Intanx、er、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理3如果=gx)在点x可导，函数)在点作gx)可导，则复合函数=gx在点x 可导，且其导数为 来-ugi密来贵 证明：当=gx)在x的某邻域内为常数时，一几】也是常数此时导数为零，结论自然 成 当=gx)在x的某邻域内不等于常数时，△0，此时有 是-1+aO.1g++A-型 g(x+Ax)-g(x) 空mg-m+f@+@=fge 简要证明： 来是一兴兴=m兰兴-g 例9=e,求安 解函数y=e可看作是由=e”,r复合而成的，因此 来路-e3 e, 例10=5血，求密 解函数票是由)如，“条复合而成的， 因t会会会mw20是奈 对复合函数的导数比较熟练后，就不必再写出中间变量 例山.Insin.求安 解：来-hs血sd5血=cosx=cor 例12.=-2示，求会4 +)内单调、可导 且 (a y )=a y ln a 0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x=(0 +)内有 a a a x a x y y a ln 1 ln 1 ( ) 1 (log ) = =   =  到目前为止 所基本初等函数的导数我们都求出来了 那么由基本初等函数构成的较复 杂的初等函数的导数如可求呢？如函数 lntan x 、 3 x e 、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理 3 如果 u=g(x)在点 x 可导 函数 y=f(u)在点 u=g(x)可导 则复合函数 y=f[g(x)]在点 x 可导 且其导数为 f (u) g (x) dx dy =    或 dx du du dy dx dy =   证明 当 u=g(x)在 x 的某邻域内为常数时 y=f[(x)]也是常数 此时导数为零 结论自然 成立 当 u=g(x)在 x 的某邻域内不等于常数时 u0 此时有 x g x x g x g x x g x f g x x f g x x f g x x f g x x y  + −  + − + − =  + − =   ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] x g x x g x u f u u f u  + −   + − = ( ) ( ) ( ) ( )  x g x x g x u f u u f u x y dx dy x u x  + −   + − =   =  →  →  → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim lim 0 0 0 = f (u)g (x ) 简要证明 x u u y x y dx dy x x      =   =  →0  →0 lim lim lim lim ( ) ( ) 0 0 f u g x x u u y u x =        =  →  →  例 9 3x y=e  求 dx dy  解 函数 3x y=e 可看作是由 y=e u  u=x 3 复合而成的 因此 2 2 3 u 3 3 x e x x e dx du du dy dx dy =  =  =  例 10 1 2 2 sin x x y + =  求 dx dy  解 函数 1 2 2 sin x x y + = 是由 y=sin u  1 2 2 x x u + = 复合而成的 因此 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 cos (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (2 ) cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +  + − = + + − =  =   对复合函数的导数比较熟练后 就不必再写出中间变量 例 11．lnsin x 求 dx dy  解 (sin ) sin 1 =(lnsin ) =  x  x x dx dy x x x cos cot sin 1 =  =  例 12． 3 1 2 2 y= − x  求 dx dy 