二、反函数的求导法则 定理2如果函数行在某区间内单调、可导且f”00,那么它的反函数与广(x)在 对应区间={=0以，E内也可导，并且 简要证明：由于=y)在1，内单调、可导（从而连续），所以=心)的反函数(x)存在 且x)在1，内也单调、连续 任取x，给x以增量Ax(Ax0,x+AxeI,由=(x)的单调性可知 △=(x+△r-(x)0, 于是 因为=广(x)连续，故 m4y=0 从而 U=兴立7可 Av 上述结论可简单地说成：反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例6.设=-siny,yef牙，]为直接函数，则=arcsin是它的反函数函数=siny在 开区间（←牙，）内单调、可导，且 (siny)'=cosy>0. 因此，由反函数的求导法则，在对应区间1=(-1,1)内有 (aresing)-(snyy cosysiny 类似地有：(ccos=-子 例7.设x=tan y.ye(子，)为直接函数，则)=arctan x是它的反函数.函数x=tany 在区间（←牙，）内单调、可导，且 (tany)'=sec220. 因此，由反函数的求导法则，在对应区间1=(-∞，+)内有 (arctany-(tanyscytany 类似地有：(cot=一中 例8设=a(a0a≠)为直接函数，则=logx是它的反函数.函数x=a'在区间1=（←0， 3 3 二、反函数的求导法则 定理 2 如果函数 x=f(y)在某区间 Iy 内单调、可导且 f (y)0 那么它的反函数 y=f −1 (x)在 对应区间 Ix={x|x=f(y) yIy}内也可导 并且 ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x  −  =  或 dy dx dx dy 1 =  简要证明 由于 x=f(y)在 I y内单调、可导(从而连续) 所以 x=f(y)的反函数 y=f −1 (x)存在 且 f −1 (x)在 I x内也单调、连续 任取 x I x 给 x 以增量x(x0 x+xI x) 由 y=f −1 (x)的单调性可知 y=f −1 (x+x)−f −1 (x)0 于是 y x x y   =   1  因为 y=f −1 (x)连续 故 lim 0 0  = → y x 从而 ( ) 1 1 [ ( )] lim lim 0 0 1 f y y x x y f x x y  =   =   =  →  → −  上述结论可简单地说成 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例 6．设 x=sin y ] 2 , 2 [   y − 为直接函数 则 y=arcsin x 是它的反函数 函数 x=sin y 在 开区间 ) 2 , 2 (   − 内单调、可导 且 (sin y)=cos y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x=(−1 1)内有 2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = =   =  类似地有 1 2 1 (arccos ) x x −  =−  例 7．设 x=tan y ) 2 , 2 (   y − 为直接函数 则 y=arctan x 是它的反函数 函数 x=tan y 在区间 ) 2 , 2 (   − 内单调、可导 且 (tan y)=sec2 y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x=(− +)内有 2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = =   =  类似地有 1 2 1 (arccot ) x x +  =−  例 8 设 x=a y (a0 a 1)为直接函数 则 y=loga x 是它的反函数 函数 x=a y在区间 I y=(−