曲面的方程有时没有实点满足它，这时方程不表示任何实图形，我们称 它为虚曲面，如x2+y2+z2+1=0:有时只有一个实点满足它，例如 x2+y2+z2=0,只有点(0,0,0)满足它，因此它只表示坐标原点：也有时 代表一条曲线，例如方程x2+y2=0,只有当x=0,y=0的点(0,0,2)能满 足它，因而它表示z轴，是一条直线 下面我们举例说明怎样从曲面（作为点的轨迹）上点的特征性质来导出曲 面的方程 例1求连结两点A1,2,3)和B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程 解垂直平分面可以看成到两点A和B为等距离的动点M(x,y,2)的轨 迹，因此垂直平分面上的点M的特征性质为 ANi -BNi 而 AM=Vx-1)2+0-22+2-3 BM=Vx-22+y+1)2+(2-42 从而得 V(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=V(x-2)2+(y+)2+(z-4)2 化简得 2x-6y+2z-7=0, 即为所求的垂直平分面的方程 例2求两坐标面xOz和vOz有等距离的点的轨迹。 解：点M(x,y,)在平分面上的充要条件是 y=风， 所以 y=土x, 或写成 x±y=0: